Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B và C.
a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Tia AM cắt tia DC tại F. Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
c) Gọi I là giao điểm của AE và DC. Tia BI cắt tia DE tại . Chứng minh \(KI = \frac{1}{6}AE.\)
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: E là điểm đối xứng với B qua C
Suy ra C là trung điểm của BE nên BC = EC
Xét tứ giác ACED ta có:
AD // EC (AD // BC)
AD = CE (= BC)
Suy ra ACED là hình bình hành.
b) Xét ∆ABM và ∆FCM ta có:
\[\widehat {ABM} = \widehat {FCM} = 90^\circ \]
MB = MC (gt)
\(\widehat {AMB} = \widehat {CMF}\) (Hai góc đối đỉnh)
Þ ∆ABM = ∆FCM (g.c.g)
Þ AB = CF (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = DC (gt) Þ DC =F
Xét tứ giác BDEF ta có:
BE ^ DF
BE Ç DF = C
C là trung điểm của BE và DF
Þ BDEF là hình thoi
c) Gọi AC Ç BD = H; AI Ç BD = O
Ta có: ACED là hình bình hành
Mà AE Ç CD = I
Þ I là trung điểm của CD
Lại có O là trung điểm của AC
Þ H là trực tâm của ∆ACD
\( \Rightarrow \frac{{IH}}{{AI}} = \frac{1}{3}\)
Mà I là trung điểm của AE \( \Rightarrow AI = \frac{1}{2}AE \Rightarrow IH = \frac{1}{6}AE\)
Ta có: BDEF là hình thoi
Þ DF là tia phân giác của \(\widehat {BDE}\) (tính chất hình thoi)
\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {CDE}\)
Ta có BDEF là hình thoi
Þ BD = DE (hai cạnh bên)
Xét ∆BDI và ∆EDI ta có:
DI chung
\(\widehat {IDB} = \widehat {IDE}\) (cmt)
BD = DE (cmt)
Þ ∆BDI = ∆EDI (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {DBI} = \widehat {DEI}\) (hai góc tương ứng)
Và IE = IB (hai cạnh tương ứng)
Xét ∆HBI và ∆KEI ta có:
\(\widehat {HBI} = \widehat {KEI}\) (cmt)
IE = IB (cmt)
\(\widehat {HIB} = \widehat {KIE}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆HBI = ∆KEI (g.c.g)
Suy ra HI = IK (hai cạnh tương ứng).
Vậy \(IK = \frac{1}{6}AE\) (đpcm)
Rút gọn biểu thức: cos2 10° + cos2 20° + cos2 30° + ... + cos2 180°.
Cho tam giác ABC có \(\widehat {ABC} = 30^\circ \), AB = 5, BC = 8. Tính \[\overrightarrow {BA} \,.\,\overrightarrow {BC} \].
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH vuông góc BN (H thuộc BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE, BOCF là hình vuông
b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng OI ^ CD
c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6. Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD
d) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK. Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
a) Chứng minh AM.AB = AN.AC.
b) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh tam giác MAB vuông cân.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C và D. Gọi K là giao điểm của BM với Ax. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và BDM.
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ điểm E đối xứng với B qua điểm C; vẽ F đối xứng với điểm D qua C.
a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi.
b) Chứng minh AC = DE.
c) Gọi H là trung điểm của CD, K là trung điểm của EF. Chứng minh HK // AC.
d) Biết diện tích tam giác AEF bằng 30 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.Cho x + y + z = 0. Rút gọn: \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}}}\).
Cho tam giác nhọn ABC, \(\widehat B > \widehat C\). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần.
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 0 và 1.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. M là trung điểm OA. N là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt các tiếp tuyến tại A và B tại C và D. Tìm vị trí của N để diện tích tam giác DMC min.
Giải phương trình:
a) sin 5x + sin 8x + sin 3x = 0;
b) \(4{\cos ^3}x + 3\sqrt 2 \sin 2x = 8\cos x\).
Cho tứ giác ABCD có là góc nhọn tạo bởi hai đường chéo chứng minh rằng \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC\,.\,BD\,.\,\sin \alpha \).
