Trong kì thi THPT Quốc Gia, mỗi phòng thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng kí 4 môn thi và cả 4 lần đều thi tại 1 phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác suất để trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí.
Giải bởi Vietjack
Số phần tử của không gian mẫu là:
n(W) = (24!)4
Gọi A : “Bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí”
Chọn 2 lượt thi mà Nam ngồi trùng vị trí có: \[C_4^2\] cách
Trong 2 lượt đó, lượt đầu: Nam có 24 cách chọn vị trí, có 23! cách xếp vị trí cho 23 thí sinh còn lại; lượt sau: Nam có 1 cách chọn vị trí, có 23! cách xếp vị trí cho 23 thí sinh còn lại.
\[A_{23}^2.{(23!)^2}\]
\[n(A) = (24.23!)(1.23!).\left( {A_{23}^2.{{(23!)}^2}} \right)\]
\[ = {(23!)^4}.24.22\]
\[ \Rightarrow P(A) = \frac{{C_4^2.{{(23!)}^4}.24.23.22}}{{{{(24!)}^4}}}\]
\[ = \frac{{6.23.22}}{{24.24.24}} = \frac{{253}}{{1152}}\]
Vậy xác suất để trong 4 lần thi bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí là \[\frac{{253}}{{1152}}\].
Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2 A = sin2 B + sin2 C. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Biết AB = c; AC = b; BC = a.
Cho tam giác ABC có cạnh AB = 14 cm, \[\widehat C = 120^\circ \], tổng hai cạnh còn lại là 16 cm. Tính độ dài hai cạnh còn lại.
Một đội công nhân gồm 8 người được giao đắp một đoạn mương trong 20 ngày. Sau khi đắp được 5 ngày, đội đó được bổ sung thêm 16 người về cùng làm. Hỏi đơn vị đó đắp xong đoạn mương được giao trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất làm việc của mọi người trong một ngày là như nhau.
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn. Qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng CD = AC + BD, \[\widehat {COD} = 90^\circ \].
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo M,N là trung điểm của OD và OB. Gọi E là giao điểm của AM và CD. F là giao điểm của CN và AB. Chứng minh: Tứ giác AMCN là hình bình hành.
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC. Chứng minh ME = MF và AM là trung trực của EF.
Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm b sao cho OA = OB. Trên Oz lấy điểm I. Chứng minh: AB vuông góc với OI.
Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn. Qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng AC. BD = R2.
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \].
Một đội công nhân có 120 người được giao đắp một đoạn đường dài 4 km mỗi ngày phải làm việc 8 giờ. Trước khi khởi công, đội được điều thêm 30 người về làm và được giao đắp thêm 1 km đường nữa. Hỏi để hoàn thành đúng kế hoạch thì mỗi ngày phải làm việc mấy giờ?
Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy điểm b sao cho OA = OB. Trên Oz lấy điểm I. Chứng minh: ∆AOI = ∆BOI.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh tam giác AOB cân tại O.
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh MI = IK = KN.
Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 18 cm. Gọi M là chân đường vuông góc. Kẻ từ B đến tia phân giác \[\widehat A\]. Gọi M là trung điểm của IC. Tính HM.
