Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F.
a) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông.
c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF.
d) Tìm vị trí điểm E trên tia Ax sao cho \({S_{\Delta AMB}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta EOF}}\).
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ∆AOE và ∆MOE, có:
AO = MO = R;
AE = ME (giả thiết);
OE chung.
Do đó ∆AOE = ∆MOE (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \).
Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Ta có MF, BF là hai tiếp tuyến của (O).
Suy ra OF là tia phân giác của \(\widehat {MOB}\).
Do đó \(\widehat {MOF} = \widehat {BOF} = \frac{1}{2}\widehat {MOB}\).
Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AOE} = \widehat {EOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\).
Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \) (kề bù).
\( \Rightarrow 2\widehat {EOM} + 2\widehat {MOF} = 180^\circ \).
\( \Rightarrow 2\left( {\widehat {EOM} + \widehat {MOF}} \right) = 180^\circ \).
\( \Rightarrow \widehat {EOF} = 180^\circ :2 = 90^\circ \).
Vậy tam giác EOF vuông tại O.
c) Ta có EA = EM (giả thiết) và OM = OA (= R).
Suy ra OE là đường trung trực của đoạn AM.
Do đó OE ⊥ AM.
Mà MA ⊥ MB (\(\widehat {AMB} = 90^\circ \) do \(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).
Vì vậy OE // MB.
Suy ra \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\) (so le trong).
Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\) (do tam giác OMB cân tại O).
Do đó \(\widehat {MOE} = \widehat {ABM}\).
Mà \(\widehat {EMO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \).
Vì vậy (g.g).
Suy ra \(\frac{{EM}}{{AM}} = \frac{{OE}}{{AB}}\).
Do đó EM.AB = AM.OE (1)
Chứng minh tương tự, ta được FM.AB = BM.OF (2)
Từ (1), (2), suy ra AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
d) Kẻ MH ⊥ AB tại H.
Ta có \(\widehat {MBA} = \widehat {OFB}\) (cùng phụ với \(\widehat {FOB}\)).
Mà \(\widehat {OFM} = \widehat {OFB}\) (do FO là tia phân giác của \(\widehat {MFB}\)).
Suy ra \(\widehat {MBA} = \widehat {OFE}\).
Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {OEF} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{EOF}}}} = {\left( {\frac{{MH}}{{OM}}} \right)^2} = \frac{3}{4}\).
Khi đó \(\frac{{MH}}{{OM}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Vì vậy \(\sin \widehat {MOH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\widehat {MOH} = 60^\circ \).
Do đó \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE} = 30^\circ \).
Ta có \(AE = OA.\tan \widehat {AOE} = OA.\tan 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}OA\).
Vậy E nằm trên tia Ax sao cho \(AE = \frac{{\sqrt 3 }}{3}OA\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {NA} + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\) và \(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).
a) Tính \(\overrightarrow {PM} ,\,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
b) Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại I cắt AC tại E.
a) Chứng minh BI.BE = 2BH.BM.
b) Chứng minh \(\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}}\).
Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \) và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \).
Cho đường tròn (O; R) có đường kính BC. Lấy A thuộc (O) sao cho AB < AC, vẽ đường cao AH của tam giác ABC.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh rằng: MA2 = MB.MC.
c) Kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) và HF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh AM // EF.
Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:
a) Giỏi cả ba môn.
b) Giỏi đúng 1 môn.
