Tìm số tự nhiên n để: n2021 + n2020 + 1 là số nguyên tố.
Giải bởi Vietjack
Ta có:
n2021 + n2020 + 1
= n2021 ‒ n2 + n2020 ‒ n + n2 + n +1
= n2(n2019 ‒ 1) + n(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)
= (n2 + n)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1)
= n(n + 1)(n2019 ‒ 1) + (n2 + n +1) (1)
Để ý rằng, 2019 chia hết cho 3 và 2019 = 3.673
Nên nếu đặt A = n3 thì n2019 = A673
Mặt khác áp dụng hằng đẳng thức sau:
ak ‒ bk = (a ‒ b)(ak‒1 + ak‒2b1 + ak‒3b2 +...+ a1bk‒2 + bk‒1)
Ta có: n2019 ‒ 1 = A673 ‒ 1 = A673 ‒ 1673 = (A ‒ 1)(A672 + A671 + ... + A1 + 1)
⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (A ‒ 1) hay n2019 ‒ 1 ⋮ (n3 ‒ 1)
Mà n3 ‒ 1 = (n ‒ 1)(n2 + n +1) ⇒ n2019 ‒ 1 ⋮ (n2 + n +1) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ n2021 + n2020 + 1 ⋮ (n2 + n +1)
Như vậy để n2021 + n2020 + 1 là một số nguyên tố thì có hai trường hợp:
1. n2 + n +1 = 1, trường hợp này không xảy ra do n > 0 (giả thiết)
2. n2021 + n2020 + 1 = n2 + n +1 hay n2020(n + 1) = n(n + 1) ⇒ n(n + 1)(n2019 ‒ 1) = 0
Do n > 0 nên n2019 ‒ 1 = 0 ⇒ n = 1
Thử lại ta có: n2021 + n2020 + 1 = 12021 + 12020 + 1 = 3 là số nguyên tố.
Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn biết tam giác MPQ đều cạnh bằng \[15\sqrt 3 \]cm. Tính đường kính của đường tròn.
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.
b) Chứng minh rằng HE = HF.
Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc AB, kẻ MN song song BC (N thuộc AC). Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMN cân.
b) Kẻ ME song song AC. Chứng minh tam giác MBE cân.
Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].
Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC), EF // BC (F thuộc AB) cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AB = AD = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài các vectơ:
a) \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DC} \];
b) \[\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {IC} \].
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
2xy ‒ 1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1).
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.
a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.
b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác một hình vuông BCDE. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Chứng minh AO là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].
