Cho a + b + c = 0; a2 + b2 + c2 = 2.
Tính giá trị của biểu thức: A = a4 + b4 + c4.
Giải bởi Vietjack
Ta có:
a + b + c = 0
⇒ (a + b + c)2 = 0
⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0
⇒ 1 + 2(ab + ac + bc) = 0
\[ \Rightarrow ab + ac + bc = - \frac{1}{2}\]
\[ \Rightarrow {\left( {ab + ac + bc} \right)^2} = \frac{1}{4}\]
\[ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {\rm{ }}{a^2}{c^2} + {\rm{ }}{b^2}{c^2} + {\rm{ }}2{a^2}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}2a{b^2}c{\rm{ }} + {\rm{ }}2ab{c^2} = \frac{1}{4}\] \[ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {\rm{ }}{a^2}{c^2} + {\rm{ }}{b^2}{c^2} + {\rm{ }}2abc\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c} \right) = \frac{1}{4}\]
\[ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {\rm{ }}{a^2}{c^2} + {\rm{ }}{b^2}{c^2} = \frac{1}{4}\]
Mà a2 + b2 + c2 = 2
⇒ (a2 + b2 + c2)2 = 4
⇒ a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 = 4
⇒ a4 + b4 + c4 + 2 (a2b2 + a2c2 + b2c2) = 4
\[ \Rightarrow {a^4} + {\rm{ }}{b^4} + {\rm{ }}{c^4} + {\rm{ }}2.\frac{1}{4} = 4\;\]
\[ \Rightarrow A{\rm{ }} = {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}{b^4} + {\rm{ }}{c^4} = \frac{7}{2}\]
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn biết tam giác MPQ đều cạnh bằng \[15\sqrt 3 \]cm. Tính đường kính của đường tròn.
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.
b) Chứng minh rằng HE = HF.
Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc AB, kẻ MN song song BC (N thuộc AC). Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMN cân.
b) Kẻ ME song song AC. Chứng minh tam giác MBE cân.
Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].
Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC), EF // BC (F thuộc AB) cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
2xy ‒ 1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1).
Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AB = AD = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài các vectơ:
a) \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DC} \];
b) \[\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {IC} \].
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.
a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.
b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác một hình vuông BCDE. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Chứng minh AO là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].
