Một đội sản xuất chuẩn bị gạo đủ cho 120 công nhân ăn trong 30 ngày. Nhưng phải nhận thêm công nhân nên số gạo dự trữ chỉ đủ ăn trong 15 ngày. Hỏi sau khi nhận thêm công nhân, đội sản xuất có tất cả bao nhiêu người?

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn biết tam giác MPQ đều cạnh bằng \[15\sqrt 3 \]cm. Tính đường kính của đường tròn.

Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc AB, kẻ MN song song BC (N thuộc AC). Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN cân.

b) Kẻ ME song song AC. Chứng minh tam giác MBE cân.

Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].

Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC), EF // BC (F thuộc AB) cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.

a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.

b) Chứng minh rằng HE = HF.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?

Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AB = AD = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài các vectơ:

a) \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DC} \];

b) \[\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {IC} \].

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất y = sinx ‒ cosx.

Chứng minh 5²ⁿ⁻¹.2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹.2²ⁿ⁻¹ chia hết cho 38.

Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:

2xy ‒ 1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1).

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.

a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.

b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.

Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có I là trung điểm BC và AH là đường cao. Chứng minh \[BC.IH = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{C^2}} \right)\].