Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình x6 + 3x4 − m3x3 + 4x2 − mx + 2 ≥ 0 đúng với mọi x ∈ [1; 3]. Tính tổng của tất cả các phần tử thuộc S.
Giải bởi Vietjack
Ta có:
x6 + 3x4 − m3x3 + 4x2 − mx + 2 ≥ 0
⇔ x6 + 3x4 + 4x2 + 2 ≥ (mx)3 + mx
⇔ (x6 + 3x4 + 3x2 + 1) + x2 + 1 ≥ (mx)3 + mx
⇔ (x2 + 1).3 + (x2 + 1) ≥ (mx).3 + mx (∗)
Xét hàm số f(t) = t3 + t ta có: f′(t) = 3t2 + 1 > 0 ∀ t ∈ R ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên ℝ.
Khi đó: (∗) ⇔ x2 + 1 ≥ mx \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\forall x \in \left[ {1;3} \right]\].
Xét hàm số \[g\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\], \[x \in \left[ {1;3} \right]\] có: \[{g^'}\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0\], \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} = g\left( 1 \right) = 2\]
Để \[ \Leftrightarrow m \le x + \frac{1}{x}\mathop {\forall x \in \left[ {1;3} \right]}\limits_{} \] thì \[\mathop {m \le \min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1;3} \right]} \] ⇔ m ≤ 2
Mà m là số nguyên dương ⇒ m = 1, m = 2 ⇒ S = {1; 2}
Vậy tổng các phần tử của S là 1 + 2 = 3.
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn biết tam giác MPQ đều cạnh bằng \[15\sqrt 3 \]cm. Tính đường kính của đường tròn.
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.
b) Chứng minh rằng HE = HF.
Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc AB, kẻ MN song song BC (N thuộc AC). Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMN cân.
b) Kẻ ME song song AC. Chứng minh tam giác MBE cân.
Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].
Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC), EF // BC (F thuộc AB) cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AB = AD = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài các vectơ:
a) \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DC} \];
b) \[\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {IC} \].
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
2xy ‒ 1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1).
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.
a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.
b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác một hình vuông BCDE. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Chứng minh AO là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\].
