Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình thoi, góc ABC bằng 60, góc giữa mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60°.Khoảng cách từ A đến (SBD) là \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải bởi Vietjack
Gọi O là tâm hình thoi ABCD.
⇒ AC ⊥ BD tại O.
ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD = BC
Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ \[\widehat {SAB} = \widehat {SAD}\], AB = AD, cạnh SA chung
∆SAB = ∆SAD ⇒ SB = SD ⇒ ∆ SBD cân tại S.
⇒ Trung tuyến SO là đường cao
⇒ SO ⊥ BD
Ta có: (SBD) ∩ (ABCD) = BD; SO ⊥ BD; AO ⊥ BD
⇒ Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AO, là \[\widehat {SOA}\]
\[ \Rightarrow \widehat {SOA} = {60^{\rm{o}}}\].
Giả sử cạnh hình thoi có độ dài là x.
∆ABC có AB = BC và \[\widehat {ABC} = {60^{\rm{o}}}\]⇒ ∆ABC đều ⇒ AC = x \[ \Rightarrow AO = \frac{x}{2}\]
Xét ∆SAO vuông tại A: \[\tan \widehat {SAO} = \frac{{SA}}{{AO}}\] \[ \Rightarrow SA = AO.\tan \widehat {SAO}\]
\[ \Rightarrow SA = \frac{x}{2}.\tan {60^{\rm{o}}} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\]
∆SAB = ΔSAC ⇒ SB = SC ⇒ ΔSBC cân tại S
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ SM ⊥ BC
∆ABC đều ⇒ AM ⊥ BC và \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}\) ⇒ BC ⊥ (SAM)
Kẻ AH ⊥ SM.
⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SBC)
⇒ Khoảng cách từ A đến (SBC) là AH \[ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]
Xét ∆AHM vuông tại H có:\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\] (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\[ \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{16}}{{{a^2}.6}} = 2.\frac{4}{{{x^2}.3}}\] \[ \Rightarrow x = a\]
Khi đó \[SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]; \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \(BC = x = a\).
\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.AM.BC = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{4}\] (đơn vị thể tích).
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn biết tam giác MPQ đều cạnh bằng \[15\sqrt 3 \]cm. Tính đường kính của đường tròn.
Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Cho tam giác ABC cân tại A, M thuộc AB, kẻ MN song song BC (N thuộc AC). Chứng minh rằng:
a) Tam giác AMN cân.
b) Kẻ ME song song AC. Chứng minh tam giác MBE cân.
Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinx = ‒1 trên đoạn bằng [0; 4π].
Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED // AB (D thuộc BC), EF // BC (F thuộc AB) cho tam giác ABC có E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a) Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH.
b) Chứng minh rằng HE = HF.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \sqrt {5 - m\sin x - (m + 1)\cos x} \] xác định trên ℝ?
Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, AB = AD = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Tính độ dài các vectơ:
a) \[\overrightarrow a = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DC} \];
b) \[\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {IC} \].
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn:
2xy ‒ 1 = z(x ‒ 1)(y ‒ 1).
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số có 4 chữ số khác nhau, và trong đó có bao nhiêu số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB, OD.
a) Chứng minh ANCM là hình bình hành.
b) Qua N kẻ NK song song với OC (K thuộc CD) biết AC = 10cm. Tính NK.
Xác định tham số m để hàm số y = f(x) = 3msin4x + cos2x là hàm số chẵn.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có I là trung điểm BC và AH là đường cao. Chứng minh \[BC.IH = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - A{C^2}} \right)\].
