Tìm số giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 30] để phương trình 6x + 2mx = m2x + 2x.3x có đúng 3 nghiệm nguyên dương.
Giải bởi Vietjack
6x + 2mx = m2x + 2x.3x (1) ⇔ \({2^x}{.3^x} - 2x{.3^x} = m{.2^x} - 2mx\)
⇔ \({3^x}\left( {{2^x} - 2x} \right) - m\left( {{2^x} - 2x} \right) = 0\) ⇔ \(\left( {{3^x} - m} \right)\left( {{2^x} - 2x} \right) = 0\)
⇔ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} - 2x = 0}\\{{3^x} = m\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Xét hàm số g(x) = 2x – 2x có \(g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2\) ⇒ \(g''\left( x \right) = {\log _2}\left( {\frac{2}{{\ln 2}}} \right) \approx 1,53.\)
Gọi nghiệm đó là x0.
Hàm số g(x) có bảng biến thiên sau:
![Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc [0; 30] để phương trình 6^x + 2mx = m^2x (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/08/blobid48-1692080005.png)
Do g(x0) < 0 do đó g(x) = 0 có hai nghiệm.
Mà g(1) = g(2) = 0 nên x = 1, x = 2 là hai nghiệm của phương trình 2x – 2x = 0.
Để phương trình (1) có ba nghiệm nguyên dương thì phương trình (2) có một nghiệm nguyên dương khác 1 và 2.
• Với x = 3 ⇒ m = 27.
• Với x = 4 ⇒ m = 81.
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ \(\overrightarrow {MD} ,\overrightarrow {ME} ,\)\[\overrightarrow {MF} ,\] \(\overrightarrow {MO} \) là gì?
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng (0; +∞).
Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O; R) (B và C là 2 tiếp điểm).
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn và AO ⊥ BC tại H.
b) Vẽ đường kính BD. Đường thẳng qua O và vuông góc với AD cắt tia BC tại E. Chứng minh: DC // OA.
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý?
b) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 2020 và log3(3x + 3) + x = 2y + 9y?
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CM với nửa đường tròn (M là tiếp điểm). CM cắt By tại D. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và MB.
a) Tính \(\widehat {COD}.\)
b) Tứ giác OIMK là hình gì?
c) Chứng minh AC.BD không đổi khi C di chuyển trên Ax.
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x - {{\log }_3}x - 1} \right)\sqrt {{5^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x + 2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d.
Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị là A(1; −7); B(2; −8). Tính y(−1).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx2 + (2m − 3)x − 3 đạt cực đại tại điểm x = 1.
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = x + 2 và \(y = - \frac{3}{4}x + 3.\)
Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình: 2(x2 + 2x)2 – (4m – 1)(x2 + 2x) + 2m – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc [−3; 0].
Giải phương trình: \(3{\log _3}\left( {1 + \sqrt x + \sqrt[3]{x}} \right) = 2{\log _2}\left( {\sqrt x } \right).\)
