Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp.
b) Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn (O) (Tia AO nằm giữa AM và tia AC).
Chứng minh rằng AM2 = AB.AC.
c) Gọi H là giao điểm AO và MN. Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp.
Giải bởi Vietjack
a) \(\widehat {OMA} = \widehat {ONA} = 90^\circ \)(vì AM, AN là tiếp tuyến của (O))
Xét tứ giác OMAN có: \(\widehat {OMA} + \widehat {ONA} = 180^\circ \)
Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp
hay O, M, A, N cùng thuộc 1 đường tròn
b) Xét tam giác AMB và tam giác ACM có:
\(\widehat {MAC}\)là góc chung
\(\widehat {MCA} = \widehat {BMA}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Suy ra: ∆AMB ∽ ∆ACM (g.g)
⇒ \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}\) hay AM2 = AB.AC
c) Ta có: OM = ON = R
MA = NA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Khi đó OA là trung trực của MN.
Suy ra: OA vuông góc MN
Xét tam giác OMA vuông tại M có đường cao MH, ta cóL
MA2 = AH.AO
Mà AM2 = AB.AC nên AH.AO = AB.AC
Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AC}}\)
Xét ∆ABH và ∆AOC có:
\(\frac{{AB}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AC}}\)
\(\widehat {OAC}\)là góc chung
⇒ ∆ABH ∽ ∆AOC (c.g.c)
⇒ \(\widehat {AHB} = \widehat {ACO}\)(hai góc tương ứng)
Do đó tứ giác BHOC nội tiếp.
Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40)° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?
Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = \(R\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ O đến BC.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC, trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho ID = IA.
a) Chứng minh ∆ABI = ∆ACI.
b) Chứng minh AC // BD.
c) Kẻ IK vuông góc với AB (K thuộc AB), IH vuông góc với CD (H thuộc CD). Chứng minh IK = IH.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm; BC = 5cm. Tính độ dài véctơ \(\overrightarrow {AC} \)?
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(–1;1), B(1;3) và trọng tân là G\(\left( { - 2;\frac{2}{3}} \right)\). Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA vuông góc BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE. AD = AH. AO.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh: ∆MAB = ∆MDC.
b) Chứng minh: AB // CD và ∆ABC = ∆CDA.
c) Chứng minh: ∆BDC là tam giác vuông.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy hai điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.
a) Chứng minh \(\widehat {EAB}\) = \(\widehat {DAC}\).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc \(\widehat {DAE}\).
c) Gỉa sử \(\widehat {DAE} = 60^\circ \). Tính các góc còn lại của tam giác ADE.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC , trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD =MB.
1) Chứng minh AD = BC.
2) Chứng minh CD vuông góc với AC.
3) Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia DC tại N. Chứng minh tam giác ABM = tam giác CNM.
Tính diện tích hình thang có đáy lớn 54m, đáy bé bằng \(\frac{2}{3}\) đáy lớn và bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao.
Cho tam giác ABC vuông cân tại C, M là điểm bất kỳ trên cạnh AB. Vẽ MF vuông góc BC tại F, ME vuông góc AC tại E. Gọi D là trung điểm AB. Chứng minh rằng tam giác DEF vuông cân.
Cho đường tròn tâm (O) bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Một cửa hàng có 3,125 tấn gạo. Ngày thứ nhất bán được 24%số gạo. Ngày thứ hai bán được 32% số gạo còn lại. Hỏi ngày thứ hai cửa hàng bán được bao nhiêu ki lô gam gạo?
Tính bằng cách thuận tiện: \(\frac{1}{4}:0,25 - \frac{1}{8}:0,125 + \frac{1}{2}:0,5 - \frac{1}{{10}}\).
