Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt thuộc đoạn BC, AC sao cho: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {AN} \). Tìm k sao cho AM vuông góc với DN.
Giải bởi Vietjack
\(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)
\(\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {AN} \Rightarrow \overrightarrow {CN} = - k\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {CA} = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {AC} \)
AM vuông góc với DN khi và chỉ khi: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN} = 0\)
⇔ \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right).\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} } \right) = 0\)
⇔\(\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} } \right).\left( {\overrightarrow {DC} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {AC} } \right) = 0\)
⇔\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} + \frac{1}{{1 - k}}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC} + \frac{1}{4}.\frac{1}{{1 - k}}.\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC} = 0\]
⇔ \[a.a.\cos 0^\circ + \frac{1}{{1 - k}}.a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ + \frac{1}{4}.a.a.\cos 90^\circ + \frac{1}{4}.\frac{1}{{1 - k}}.a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 0\]
⇔\[{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{1 - k}} + \frac{{{a^2}}}{{4\left( {1 - k} \right)}} = 0\]
⇔ \[{a^2}\left( {1 + \frac{1}{{1 - k}} + \frac{1}{{4\left( {1 - k} \right)}}} \right) = 0\]
⇔ \[\frac{{4 - 4k + 4 + 1}}{{4\left( {1 - k} \right)}} = 0\]
⇔ –4k + 9 = 0
⇔ k = \(\frac{9}{4}\).
Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40)° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?
Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = \(R\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ O đến BC.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC, trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho ID = IA.
a) Chứng minh ∆ABI = ∆ACI.
b) Chứng minh AC // BD.
c) Kẻ IK vuông góc với AB (K thuộc AB), IH vuông góc với CD (H thuộc CD). Chứng minh IK = IH.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm; BC = 5cm. Tính độ dài véctơ \(\overrightarrow {AC} \)?
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(–1;1), B(1;3) và trọng tân là G\(\left( { - 2;\frac{2}{3}} \right)\). Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA vuông góc BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE. AD = AH. AO.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC , trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD =MB.
1) Chứng minh AD = BC.
2) Chứng minh CD vuông góc với AC.
3) Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia DC tại N. Chứng minh tam giác ABM = tam giác CNM.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy hai điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.
a) Chứng minh \(\widehat {EAB}\) = \(\widehat {DAC}\).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc \(\widehat {DAE}\).
c) Gỉa sử \(\widehat {DAE} = 60^\circ \). Tính các góc còn lại của tam giác ADE.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh: ∆MAB = ∆MDC.
b) Chứng minh: AB // CD và ∆ABC = ∆CDA.
c) Chứng minh: ∆BDC là tam giác vuông.
Tính diện tích hình thang có đáy lớn 54m, đáy bé bằng \(\frac{2}{3}\) đáy lớn và bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao.
Cho tam giác ABC vuông cân tại C, M là điểm bất kỳ trên cạnh AB. Vẽ MF vuông góc BC tại F, ME vuông góc AC tại E. Gọi D là trung điểm AB. Chứng minh rằng tam giác DEF vuông cân.
Tính bằng cách thuận tiện: \(\frac{1}{4}:0,25 - \frac{1}{8}:0,125 + \frac{1}{2}:0,5 - \frac{1}{{10}}\).
Cho đường tròn tâm (O) bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Một cửa hàng có 3,125 tấn gạo. Ngày thứ nhất bán được 24%số gạo. Ngày thứ hai bán được 32% số gạo còn lại. Hỏi ngày thứ hai cửa hàng bán được bao nhiêu ki lô gam gạo?
. Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?
