Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt thuộc đoạn BC, AC sao cho: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MC} ;\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {AN} \). Tìm k sao cho AM vuông góc với DN.
Giải bởi Vietjack
\(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)
\(\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {AN} \Rightarrow \overrightarrow {CN} = - k\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {CA} = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {AC} \)
AM vuông góc với DN khi và chỉ khi: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DN} = 0\)
⇔ \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right).\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AN} } \right) = 0\)
⇔\(\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} } \right).\left( {\overrightarrow {DC} + \frac{1}{{1 - k}}\overrightarrow {AC} } \right) = 0\)
⇔\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} + \frac{1}{{1 - k}}.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {DC} + \frac{1}{4}.\frac{1}{{1 - k}}.\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AC} = 0\]
⇔ \[a.a.\cos 0^\circ + \frac{1}{{1 - k}}.a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ + \frac{1}{4}.a.a.\cos 90^\circ + \frac{1}{4}.\frac{1}{{1 - k}}.a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = 0\]
⇔\[{a^2} + \frac{{{a^2}}}{{1 - k}} + \frac{{{a^2}}}{{4\left( {1 - k} \right)}} = 0\]
⇔ \[{a^2}\left( {1 + \frac{1}{{1 - k}} + \frac{1}{{4\left( {1 - k} \right)}}} \right) = 0\]
⇔ \[\frac{{4 - 4k + 4 + 1}}{{4\left( {1 - k} \right)}} = 0\]
⇔ –4k + 9 = 0
⇔ k = \(\frac{9}{4}\).
Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc 40)° để đến đích là điểm D. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ). Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích?
Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = \(R\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ O đến BC.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC, trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho ID = IA.
a) Chứng minh ∆ABI = ∆ACI.
b) Chứng minh AC // BD.
c) Kẻ IK vuông góc với AB (K thuộc AB), IH vuông góc với CD (H thuộc CD). Chứng minh IK = IH.
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm; BC = 5cm. Tính độ dài véctơ \(\overrightarrow {AC} \)?
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(–1;1), B(1;3) và trọng tân là G\(\left( { - 2;\frac{2}{3}} \right)\). Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M.
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA vuông góc BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE. AD = AH. AO.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC , trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD =MB.
1) Chứng minh AD = BC.
2) Chứng minh CD vuông góc với AC.
3) Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia DC tại N. Chứng minh tam giác ABM = tam giác CNM.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a) Chứng minh: ∆MAB = ∆MDC.
b) Chứng minh: AB // CD và ∆ABC = ∆CDA.
c) Chứng minh: ∆BDC là tam giác vuông.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy hai điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.
a) Chứng minh \(\widehat {EAB}\) = \(\widehat {DAC}\).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc \(\widehat {DAE}\).
c) Gỉa sử \(\widehat {DAE} = 60^\circ \). Tính các góc còn lại của tam giác ADE.
Tính diện tích hình thang có đáy lớn 54m, đáy bé bằng \(\frac{2}{3}\) đáy lớn và bằng \(\frac{3}{2}\) chiều cao.
Cho tam giác ABC vuông cân tại C, M là điểm bất kỳ trên cạnh AB. Vẽ MF vuông góc BC tại F, ME vuông góc AC tại E. Gọi D là trung điểm AB. Chứng minh rằng tam giác DEF vuông cân.
Tính bằng cách thuận tiện: \(\frac{1}{4}:0,25 - \frac{1}{8}:0,125 + \frac{1}{2}:0,5 - \frac{1}{{10}}\).
Một cửa hàng có 3,125 tấn gạo. Ngày thứ nhất bán được 24%số gạo. Ngày thứ hai bán được 32% số gạo còn lại. Hỏi ngày thứ hai cửa hàng bán được bao nhiêu ki lô gam gạo?
Cho đường tròn tâm (O) bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
