Cho hình lập phương ABCD có cạnh là 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (A'MN).
Giải bởi Vietjack
Kéo dài MN cắt AB và AD lần lượt tại E và F.
Gọi H = A'E Ç BB'; K = A'F Ç DD'. Khi đó thiết diện là A'HMNK.
Ta có ABMND là hình chiếu của A’HMNK trên mặt phẳng (ABCD).
Gọi I = AC Ç MN. ta có: AC ^ BD; MN // BD Þ AC ^ MN tại I.
\(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AI\\MN \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {A'AI} \right) \Rightarrow MN \bot A'I\)
\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {A'HMNK} \right);\;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {AIA'}\)
Ta có:
• \(CM = CN = 1 \Rightarrow MN = \sqrt 2 \Rightarrow IC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
• \(AC = 2\sqrt 2 \Rightarrow AI = 2\sqrt 2 - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác vuông AA'I có:
\(A'I = \sqrt {AA{'^2} + A{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {AIA'} = \frac{{AI}}{{A'I}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt {34} }}{2}}} = \frac{3}{{\sqrt {17} }} = \cos \left( {\widehat {\left( {A'HMNK} \right);\;\left( {ABCD} \right)}} \right)\)
Ta có: \({S_{ABCD}} = 4;\;{S_{CMN}} = \frac{1}{2}\,.\,1\,.\,1 = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow {S_{ABMND}} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{A'HMNK}} = \frac{{{S_{ABMND}}}}{{\cos \widehat {AIA'}}} = \frac{7}{2}\,.\,\frac{{\sqrt {17} }}{3} = \frac{{7\sqrt {17} }}{6}\).
Cho hàm số: y = 3 − 5sin x, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là M và m. Tính \(\frac{M}{m}\).
Cho y = 2x + m + 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Tìm m để y = x3 − 3x2 + mx − 1 có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 3.
Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M, N (F nằm giữa M và E). Chứng minh rằng: .
Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Cho đường tròn (O; R). Có bao nhiêu phép vị tự biến (O; R) thành chính nó?
Tìm GTLN và GTNN của hàm số sau: \(y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \).
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = 2a, \(\widehat {BAC} = 120^\circ ,\;\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = 90^\circ \). Biết góc giữa SB và đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 22x + 1 − 2x + 3 − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 + 3x2 + mx + 1 nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
Cho ba điểm A(2; 2), B(3; 5), C(5; 5). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (D Î BC, E Î AC, F Î AB). Chứng minh các tứ giác BDHF, BFEC nội tiếp.
Cho hàm số y = 3x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d1).
1. Điểm \(A\left( {\frac{1}{3};\;3} \right)\) có thuộc đường thẳng (d1) không? Vì sao?
2. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d1) và đường thẳng (d2) có phương trình y = −2x + m cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.
3. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2x + m cắt hai trục tạo thành tam giác có diện tích bằng 5.
