Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; R) và (O′; R). AB là một dây cung của đường tròn (O; R) sao cho tam giác O′AB là tam giác đều và mặt phẳng (O′AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O; R) một góc \(60^\circ .\) Tính theo R thể tích V của khối trụ đã cho.
Giải bởi Vietjack
Gọi I là trung điểm của AB thì O′I ⊥ AB, OI ⊥ AB.
Suy ra góc giữa (O′AB) và (O; R) là góc giữa O′I và OI hay \(\widehat {O'IO} = 60^\circ .\)
Đặt AI = x ⇒ AB = 2x.
Tam giác vuông OIA có OA = R, AI = x
⇒ \(OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\)
Tam giác O′AB đều cạnh AB = 2x ⇒ \(O'I = \frac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 .\)
Tam giác O′OI vuông tại O nên \(\cos 60^\circ = \frac{{OI}}{{O'I}}\)
⇔ \(\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{x\sqrt 3 }}\) ⇔ \(x = \frac{{2R}}{{\sqrt 7 }}.\)
Suy ra \(OO' = O'I.\sin 60^\circ = \frac{{2R}}{{\sqrt 7 }}.\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3R\sqrt 7 }}{7}.\)
Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.\frac{{3R\sqrt 7 }}{7} = \frac{{3\pi \sqrt 7 {R^3}}}{7}.\)
Biết phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}\left( {2x} \right) - 1 = 0\) có hai nghiệm x1, x2. Tính x1x2.
Cho (O, R), lấy điểm A cách O một khoảng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh tam giác OBA vuông tại B và tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Người ta dùng 100m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được.
Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm MP, NQ. Chứng minh IJ // AE và AE = 4IJ.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 – 10x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2017; 2017] để phương trình log(mx) = 2.log(x + 1) có nghiệm duy nhất?
Có 5 cái bánh, chia đều cho 8 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần cái bánh?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, \(\widehat {BAD} = 60^\circ .\) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = \(a\sqrt 3 ,\) AB = AC = 2a, BC = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
Cho hàm số \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} .\) Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số. Tính M + m.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} - {\log _{\frac{1}{2}}}x\) + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Phương trình \(\left( {{2^x} - 5} \right)\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\) Tính giá trị của biểu thức \(K = {x_1} + 3{x_2}.\)
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 1.\) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, với A(2, 3).
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \(AP = \frac{1}{3}AB.\) Gọi Q là giao điểm của SC và (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SC}}.\)
