Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 120^\circ ,\) AB = AC = a. Quay tam giác ABC (bao gồm điểm trong tam giác) quanh đường thẳng AB ta được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó bằng:
A. \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}.\)
B. \(\frac{{\pi {a^3}}}{4}.\)
C. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)
D. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AB ta được khối tròn xoay có thể tích V1, thể tích khối nón lớn có đỉnh B và thiết diện qua trục là BDC (hình vẽ) trừ đi V2 thể tích khối nón nhỏ có đỉnh A và thiết diện qua trục là ADC.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hai khối nón.
Xét tam giác AOC vuông tại O, có:
• \(\sin 60^\circ = \frac{{OC}}{{AC}}\) ⇒ \(OC = AC.\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
• \(\cos 60^\circ = \frac{{AO}}{{AC}}\) ⇒ \(OA = AC.\cos 60^\circ = \frac{a}{2}\) ⇒ \(OB = \frac{{3a}}{2}.\)
Do đó \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{1}{3}BO\,.\,\pi \,.\,O{C^2} - \frac{1}{3}OA\,.\,\pi \,.\,O{C^2}\)
\( = \frac{1}{3}\pi \,.\,O{C^2}\,\,.\,\,\left( {BO - OA} \right) = \frac{1}{3}\pi \,.\,{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\,.\,a = \frac{{\pi {a^3}}}{4}.\)
Biết phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}\left( {2x} \right) - 1 = 0\) có hai nghiệm x1, x2. Tính x1x2.
Cho (O, R), lấy điểm A cách O một khoảng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.
a) Chứng minh tam giác OBA vuông tại B và tam giác OAK cân tại K.
b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Người ta dùng 100m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được.
Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm MP, NQ. Chứng minh IJ // AE và AE = 4IJ.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 – 10x2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2017; 2017] để phương trình log(mx) = 2.log(x + 1) có nghiệm duy nhất?
Có 5 cái bánh, chia đều cho 8 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần cái bánh?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SD = a, \(\widehat {BAD} = 60^\circ .\) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = \(a\sqrt 3 ,\) AB = AC = 2a, BC = 3a. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
Cho hàm số \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} .\) Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số. Tính M + m.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} - {\log _{\frac{1}{2}}}x\) + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Phương trình \(\left( {{2^x} - 5} \right)\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\) Tính giá trị của biểu thức \(K = {x_1} + 3{x_2}.\)
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 1.\) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, với A(2, 3).
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \(AP = \frac{1}{3}AB.\) Gọi Q là giao điểm của SC và (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SC}}.\)
