Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \[\widehat {BAC} = 120^\circ \]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.
Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và AM ⊥ BC
Þ AH ⊥ BC (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi
Þ HB = HC.
Xét tam giác ABH có AB = BH, \[\widehat {BAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = 60^\circ \]nên là tam giác đều, do đó HA = HB.
Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.
Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.
Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có:
HI = H’I (I là trung điểm của HH’)
AH = A’H’
\[\widehat {AHI} = \widehat {A'H'I'} = 90^\circ \]
Þ ΔAHI = ΔA′H′I (c.g.c)
Þ IA = IA′
Do đó IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AHI, ta có:
\[AI = \sqrt {A{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \]
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là \[R = 2\sqrt 2 \].
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = {\log _{2020}}(mx - m + 2)\]xác định trên \[[1; + \infty )\].
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Một máy bay đang bay ở độ cao 12 km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: AD.AB = AE.AC = HC.HB.
Cho hình bình hành ABCD, AB > AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng tùy ý qua O cắt AB, CD lần lượt tai M, N. Chứng minh:
OM = ON.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\{0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích là V. Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’.
Chứng minh hai góc kề nhau của một hình bình hành không thể có số đo là 40° và 50°.
Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
Tính 4a + 2b.
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y)}^2}\left( {8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13} \right) + 5 = 0}\\{2x + \frac{1}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]
Giải hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]