Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:
- Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B.
- Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A và B.
Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn \[\frac{1}{2}\] số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Biết giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Tìm phương án dùng hai loại vitamin A, B thoả mãn các điều kiện trên để có số tiền phải trả là ít nhất.
Giải bởi Vietjack
Gọi x là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (x ≥ 0)
Gọi y là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (y ≥ 0)
Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên x ≤ 600 và y ≤ 500.
Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A và B nên:
400 ≤ x + y ≤ 1000
Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên: \[\left\{ \begin{array}{l}y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3x\end{array} \right.\]
Ta có hệ bất phương trình giữa x và y:
\[\left\{ \begin{array}{l}x \le 600\\y \le 500\\x + y \ge 400\\x + y \le 1000\\y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3x\end{array} \right.\]
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
- Biểu diễn miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≤ 600:
+ Vẽ đường thẳng d1: x = 600 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
+ Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta được 0 ≤ 600 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x ≤ 600.
Vậy miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≤ 600 là nửa mặt phẳng bờ d1 (kể cả bờ d1) chứa điểm O.
* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:
- Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≤ 500: là nửa mặt phẳng bờ d2 (kể cả bờ d2: y = 500) chứa điểm O.
- Miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≥ 400: là nửa mặt phẳng bờ d3 (kể cả bờ d3: x + y = 400) không chứa điểm O.
- Miền nghiệm D4 của bất phương trình x + y ≤ 1000: là nửa mặt phẳng bờ d4 (kể cả bờ d4: x + y = 1000) chứa điểm O.
- Miền nghiệm D5 của bất phương trình \[y \ge \frac{1}{2}x\]: là nửa mặt phẳng bờ d5 (kể cả bờ d5: \[y = \frac{1}{2}x\]) chứa điểm M(0; 50).
- Miền nghiệm D6 của bất phương trình y ≤ 3x: là nửa mặt phẳng bờ d6 (kể cả bờ d6: y = 3x) không chứa điểm M (0; 50).
Ta có đồ thị sau:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của đa giác ABCDEF với:
A(100; 300); \[B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right)\]; C(500; 500); D(600; 400); E(600; 300); \[F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right)\]
Số tiền trả cho x đơn vị vitamin A và y đơn vị vitamin B là: F (x; y) = 9x + 7,5y.
Để có số tiền phải trả là ít nhất thì F(x; y) phải nhỏ nhất.
• Tại A(100; 300): F = 9.100 + 7,5. 300 = 3150;
• Tại \[B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right)\]: F = 9. + 7,5. 500 = 5250;
• Tại C(500; 500): F = 9. 500 + 7,5. 500 = 8250;
• Tại D(600, 400): F = 9. 600 + 7,5. 400 = 8400;
• Tại E(600, 300): F = 9. 600 + 7,5. 300 = 7650;
• Tại \[F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right)\], ta có: \[9 \cdot \frac{{800}}{3} + 7,5 \cdot \frac{{400}}{3} = 3\,\,400\]
Vậy F(x; y) nhỏ nhất là 3150 khi x =100 và y = 300.
Vậy mỗi người sẽ dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo các điều kiện số lượng sử dụng và chi phí phải trả là ít nhất.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = {\log _{2020}}(mx - m + 2)\]xác định trên \[[1; + \infty )\].
Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d?
Một máy bay đang bay ở độ cao 12 km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em và B là tập hợp các học sinh đang học môn Tiếng Anh của trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Cho hình bình hành ABCD, AB > AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng tùy ý qua O cắt AB, CD lần lượt tai M, N. Chứng minh:
OM = ON.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: AD.AB = AE.AC = HC.HB.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\{0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
Lớp 10B có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hóa, 3 học sinh giỏi cả Lý và Toán, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hóa, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hóa, 1 học sinh giỏi cả Toán, Lý, Hóa. Tính số học sinh của lớp 10B.
Chứng minh hai góc kề nhau của một hình bình hành không thể có số đo là 40° và 50°.
Cho a là góc tù và \[\sin \alpha = \frac{4}{5}\]. Tính giá trị của biểu thức: A = 2sin a – cos a.
