Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f[f(cos x) − 1] = 0 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0;2π]?
![Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f[f(cos x) - 1] = 0 có (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/09/blobid2-1695633687.png)
Giải bởi Vietjack
Đặt t = cos x vì x ∈ [0; 2π] Þ t ∈ [−1; 1]
Đặt f(t) – 1 = v
Phương trình f(f(cos x) – 1) = 0 có dạng: f(v) = 0 (*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị y = f(v) và đường thẳng y = 0
Từ đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình (*) là
\[\left[ \begin{array}{l}v = {a_1} \in ( - 2; - 1)\\v = {a_2} \in ( - 1;0)\\v = {a_3} \in (1;2)\end{array} \right.\]
Thay vào phần đặt ta có \[\left[ \begin{array}{l}f(t) - 1 = {a_1} \in ( - 2; - 1)\\f(t) - 1 = {a_2} \in ( - 1;0)\\f(t) - 1 = {a_3} \in (1;2)\end{array} \right.\]
Xét phương trình: f(t) – 1 = a1 ∈ (−2; −1)
⇔ f(t) = (1 + a1) ∈ (−1; 0)
Đồ thị hàm số y = f(t) và đường thẳng y = 0 cắt nhau tại 3 điểm, chỉ có 1 điểm thỏa mãn có hành độ t ∈ (−1;0)
Nên phương trình f(t) – 1 = t1 ∈ (−2; −1) có 1 nghiệm t ∈ (−1; 0)
Xét phương trình: t = cos x với t ∈ (−1; 0).
Từ đồ thị hàm số:
y = cos x, x ∈ [0; 2π]
Þ t = cos x với t ∈ (−1; 0) có 2 nghiệm x
Tương tự phương trình:
f(t) – 1 = a2 ∈ (−1; 0)
⇔ f(t) = (1 + a2) ∈ (0; 1) có một nghiệm t ∈ (−1; 0)
Þ t = cos x với t ∈ (−1; 0) có 2 nghiệm x
f(t) – 1 = a3 ∈ (1; 2)
⇔ f(t) = (1 + a3) ∈ (2; 3) không có nghiệm t ∈ [−1; 1]
Vậy f(f(cos x) – 1) = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [0; 2π].
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = {\log _{2020}}(mx - m + 2)\]xác định trên \[[1; + \infty )\].
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Một máy bay đang bay ở độ cao 12 km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: AD.AB = AE.AC = HC.HB.
Cho hình bình hành ABCD, AB > AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng tùy ý qua O cắt AB, CD lần lượt tai M, N. Chứng minh:
OM = ON.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\].
Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\{0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có thể tích là V. Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’.
Chứng minh hai góc kề nhau của một hình bình hành không thể có số đo là 40° và 50°.
Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
Tính 4a + 2b.
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y)}^2}\left( {8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13} \right) + 5 = 0}\\{2x + \frac{1}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]
Giải hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]
