Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.
Giải bởi Vietjack
Mệnh đề: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
Chứng minh:
Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và MN là đường kính.
Do M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên ta có:
Mà dây MA chắn cung nhỏ AM, dây MB chắn cung nhỏ MB nên MA = MB (1)
Ta lại có: OA = OB (2) (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)
Từ (1) và (2) ta suy ra OM là đường trung trực của AB
Hay MN là đường trung trực của AB
Do đó, MN đi qua trung điểm của AB (đpcm)
Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh:
Giả sử đường kính MN đi qua trung điểm H của dây AB
Xét tam giác OAB có:
OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)
Do đó, tam giác OAB cân tại O
Có: H là trung điểm của AB
Do đó, OH là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác của góc AOB
\( \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH} \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)
Mà ta có:
Góc AOM chắn cung nhỏ AM
Góc BOM chắn cung nhỏ BM
Do đó, M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (đpcm)
Điều này chỉ đúng khi dây AB không đi qua O
Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Cho các mệnh đề sau:
a. Nếu a // (P) thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong (P).
b. Nếu a // (P) thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong (P).
c. Nếu a // (P) thì có vô số đường thẳng nằm trong (P) và song song với a
d. Nếu a // (P) thì có một đường thẳng d nào đó nằm trong (P) sao cho a và d đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
Xác định parabol y = ax2 – bx + 1 trong mỗi trường hợp sau:
a) Có đỉnh I(−2; 37).
b) Có trục đối xứng là x = −1 và tung độ của đỉnh bằng 5.
Có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.
Có bao nhiêu cách xếp 6 nam và 6 nữ ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^3} - 3x + 3}}\) trên đoạn [0; 2].
Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?
Tìm m để phương trình log2 x + log x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1)
Cho bất phương trình 2x + 3y − 6 ≤ 0 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 < 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\) chứa điểm nào sau đây?
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 lần độc lập. Tính xác xuất để không lần nào xuất hiện mặt có số chấm là một số chẵn?
Một tam giác có chiều cao bằng \(\frac{3}{4}\) cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính diện tích của tam giác ban đầu.
Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là 80%. Xác suất người thứ hai bắn trúng là 70%. Tính xác suất để cả hai người cùng bắn trúng.
