Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí một hình vuông kích thước $4\;{\text{m}} \times 4\;{\text{m}}$ bằng cách vẽ một hình vuông mới với các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu và tô kín màu lên hai tam giác đối diện (như hình vẽ dưới đây). Quá trình vẽ và tô theo quy luật đó được lặp lại 10 lần. Tính số tiền nước sơn để người thợ đó hoàn thành trang trí hình vuông trên? Biết tiền nước sơn 1 ${{\text{m}}^{\text{2}}}$ là 80 000 đồng.
Giải bởi Vietjack
Theo quy luật trang trí một hình vuông trên thì ta có các tam giác được tô màu sẽ là tam giác vuông cân.
Gọi ${u_n}$ là diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ $n$, với $n \in {\mathbb{N}^*}.$
Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ đầu tiên là $\frac{4}{2} = 2\,\,\left( {\text{m}} \right).$ Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ đầu tiên là
${u_1} = 2\left( {\frac{1}{2}.2.2} \right) = 4$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right).$
Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ hai là $\frac{1}{2}.\sqrt {{2^2} + {2^2}} \, = \sqrt 2 \left( {\text{m}} \right).$ Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ hai là
${u_2} = 2\left( {\frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2 } \right) = 4.\frac{1}{2}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right).$
Độ dài cạnh góc vuông của hai tam giác vuông cân được tô màu theo lần vẽ thứ ba là$\frac{1}{2}.\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = 1\,\left( {\text{m}} \right).$ Khi đó diện tích của hai tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ ba là
${u_3} = 2\left( {\frac{1}{2}.1.1} \right) = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right).$
Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 4$ và công bội $q = \frac{1}{2}.$
Ta có công thức số hạng tổng quát ${u_n} = 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right).$
Tổng diện tích của các tam giác được tô màu sau lần vẽ thứ 10 là:
${S_{10}} = \frac{{4\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1\,\,023}}{{128}}$ $\left( {{{\text{m}}^{\text{2}}}} \right).$
Vậy số tiền nước sơn là $\frac{{1\,\,023}}{{128}}.80\,\,000 = 639\,\,375$ đồng.
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết $\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 3 \hfill \\
{u_{n + 1}} = 3{u_n} \hfill \\
\end{gathered} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u_n}} \right).$
Cho góc hình học $uOv$ có số đo $50^\circ $. Xác định số đo của góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ trong hình dưới đây?
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Mặt phẳng $\left( {BC'D} \right)$ song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Điểm $M$ thuộc cạnh $SO$ ($M$ khác $S,O$). Trong các mặt phẳng sau, điểm $M$ thuộc mặt phẳng nào?
Trong hình sau, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm $O$ và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật $A$ gắn ở đầu của lò xo dao động quanh $O$. Toạ độ $s\left( {{\text{cm}}} \right)$ của $A$ trên trục $Ox$ vào thời điểm $t$ (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s = 10\sin \left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)$. Vào các thời điểm nào thì $s = - 5\sqrt 3 \left( {{\text{cm}}} \right)$?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $\sin x - 2m = 1$ có nghiệm?
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}$. Tìm số hạng ${u_5}$.
Cho hai dãy $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - 2.$ Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)$ bằng
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD.$ Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,SC.$ Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M,$ $N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,$ $SD,$$AB.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_3} = 9;{u_4} = 3$. Khi đó công sai là
