Từ một tấm bìa mỏng hình vuông cạnh 6 dm, bạn Nhi cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình vuông nhỏ phía trong rồi gập lên, ghép lại tạo thành một khối chóp tứ giác đều như hình sau.
Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Giải bởi Vietjack
Giả sử miếng bìa hình vuông \(ABCD\), đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông \(MNPQ\) tâm \(O\) có cạnh bằng \(x\) dm \(\left( {0 < x < 6\sqrt 2 } \right)\) như hình vẽ. Gọi \(H,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(MQ\) và \(NP\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 6 dm nên \(AC = 6\sqrt 2 \) dm, \(HK = x\) dm.
Ta có \(AH = \frac{{AC - HK}}{2} = 3\sqrt 2 - \frac{x}{2}\) dm.
Đường cao của hình chóp tứ giác đều là:
\(h = AO = \sqrt {A{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 - \frac{x}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} \) (dm).
Thể tích của khối chóp là:
\(V = \frac{1}{3}h{x^2} = \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {18 - 3\sqrt 2 x} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)} \) (dm3).
Để tìm giá trị lớn nhất của \(V\) ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số
\(f\left( x \right) = {x^4}\left( {18 - 3\sqrt 2 x} \right)\) với \(0 < x \le 3\sqrt 2 \).
Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^3}\left( { - 15\sqrt 2 x + 72} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 0\) hoặc \(x = \frac{{12\sqrt 2 }}{5}\).
Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:
Từ bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3\sqrt 2 } \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{12\sqrt 2 }}{5}} \right) \approx 477,76\).
Vậy thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng \({V_{\max }} \approx \frac{1}{3}\sqrt {477,76} \approx 7,3\) (dm3).
Đáp số: \(7,3\).
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng xét dấu đạo hàm \(y'\) như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
Cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) (với \(c \ne 0\)) có đồ thị như hình dưới đây.
Biết rằng \(a\) là số thực dương, hỏi trong các số \(b,c,d\) có bao nhiêu số dương?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình dưới đây.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) bằng bao nhiêu?
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) (với \(a,\,m \ne 0\)) có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\).
Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập hợp các đỉnh của hình chóp tứ giác, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị của hàm số trên cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\).
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
b) Hàm số đã cho không có cực trị.
c) \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\), tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).
d) Biết rằng trên \(\left( C \right)\) có 2 điểm phân biệt mà các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại các điểm đó song song với đường thẳng \(y = x\). Gọi \(k\) là tổng hoành độ của hai điểm đó, khi đó \(k\) là một số chính phương.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = AD = 1\) và \(AA' = 2\).
a) \(\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'} \).
b) \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD'} } \right| = \sqrt 2 \).
c) \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {CA'} + 2\overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \).
d) \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {A'B'} = 2\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \[I,\,J\] lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), \(G\) là trung điểm của \(IJ\) (tham khảo hình vẽ).
a) \(\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {JG} = \overrightarrow 0 \).
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {IJ} \).
c) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
d) \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) nhỏ nhất khi \(M \equiv G\).
