IMG-LOGO

Câu hỏi:

26/10/2024 14

Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\), \(M\) là một điểm bất kì trên \(\left( C \right)\) và tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cắt hai tiệm cận tại \(A,\,B\). Biết chu vi tam giác \(IAB\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(a + \sqrt b \) với \(a,\,b \in \mathbb{N}\). Giá trị của biểu thức \(a - b + 4\) bằng bao nhiêu?

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\). Giả sử \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)\), \(\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) suy ra tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có phương trình là \(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} =  - \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = 2\) nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\).

Suy ra \(I\left( {1;\,\,2} \right)\).

Điểm \(A\left( {1;\,\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right)\) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiếp tuyến, điểm \(B\left( {2{x_0} - 1;\,2} \right)\) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiếp tuyến.

Ta có chu vi của tam giác \(IAB\) bằng:

\(IA + IB + AB = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} - 1} \right| + \sqrt {4{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2} + \frac{4}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có \(IA + IB + AB \ge 2\sqrt 4  + \sqrt {4 \cdot 2}  = 4 + \sqrt 8 \).

Đẳng thức xảy ra khi \(\left| {{x_0} - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\) hoặc \({x_0} = 2\).

Vậy chu vi tam giác \(IAB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4 + \sqrt 8 \) khi \(M\left( {0;1} \right)\) hoặc \(M\left( {2;3} \right)\).

Suy ra \(a = 4,b = 8\) nên \(a - b + 4 = 0\).

Đáp số: \(0\).

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng 

Xem đáp án » 26/10/2024 19

Câu 2:

Cho hàm số \(y = {e^x} - x + 3\).

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 0\).

c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ là \(\left( {0;4} \right)\).

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ.

Xem đáp án » 26/10/2024 18

Câu 3:

Cho tứ diện \(ABCD\)\(AB,\,AC,\,AD\) đôi một vuông góc và \(AB = AC = AD = 1\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \).

b) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 1\).

c) \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BD}  = \frac{1}{2}\).

d) \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {BD} } \right) = 120^\circ \).

Xem đáp án » 26/10/2024 18

Câu 4:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây.

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng

Xem đáp án » 26/10/2024 17

Câu 5:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình dưới đây.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 26/10/2024 15

Câu 6:

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên mỗi khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\]\(\left( {3;\, + \infty } \right)\).

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là \(3\).

c) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(0\).

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.

Xem đáp án » 26/10/2024 15

Câu 7:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Giả sử hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 5\) đạt cực đại tại \(x = a\) và đạt cực tiểu tại \(x = b\). Giá trị của biểu thức \(M = 2a - 3b\) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 26/10/2024 15

Câu 8:

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí \(A\). Diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là bao nhiêu mét vuông, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.

Xem đáp án » 26/10/2024 15

Câu 9:

Cho hàm số  liên tục trên và có đồ thị như hình dưới đây.

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 26/10/2024 14

Câu 10:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 26/10/2024 14

Câu 11:

Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị như hình vẽ.

Trong các số \(a,b,c,d\) có bao nhiêu số có giá trị dương?

Xem đáp án » 26/10/2024 14

Câu 12:

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

a) Các vectơ bằng với vectơ \(\overrightarrow {AD} \)\(\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {B'C'} ,\,\overrightarrow {A'D'} \).

b) Các vectơ đối của vectơ \(\overrightarrow {DB} \)\[\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {D'B'} \].

c) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  =  - 2\overrightarrow {D'C'} \).

d) \(\overrightarrow {BB'}  - \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AC'} \).

Xem đáp án » 26/10/2024 14

Câu 13:

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'D'\)\(C'D'\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \)\(\overrightarrow {A'B} \). Số đo của góc \(\varphi \) bằng bao nhiêu độ?

Xem đáp án » 26/10/2024 14

Câu 14:

Có ba lực cùng tác động vào một cái bàn như hình vẽ dưới. Trong đó hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) tạo với nhau một góc \(110^\circ \) và có độ lớn lần lượt là 9 N và 4 N, lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) và có độ lớn 7 N. Độ lớn hợp lực của ba lực trên là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của Newton)?

Xem đáp án » 26/10/2024 14

Câu 15:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình dưới đây.

 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \[\left[ { - 2;\,0} \right]\] là:

Xem đáp án » 26/10/2024 13

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »