Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x + \left( {1 - 2m} \right)y + {m^2}z + 1 = 0.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {0; - 1;3} \right)$, $B\left( {1;0;1} \right)$, $C\left( { - 1;1;2} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và song song với $BC.$

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( { - 1;3;2} \right)$, $B\left( {2;0;5} \right)$, $C\left( {0; - 2;1} \right).$ Phương trình đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {0;2; - 4} \right)$ và đường thẳng ${d_1}:$$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}.$ Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng ${d_1}$. Đường thẳng $AH$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}.$ Khi đó $2a - b + c$ bằng

Cho điểm $A\left( {1;0;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + z - 1 = 0$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$?

III. Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;4;2} \right)$ và $B\left( { - 1;2;4} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua trọng tâm tam giác $OAB$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {OAB} \right).$

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {5; - 3;6} \right)$; $B\left( {5; - 1; - 5} \right)$. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 + t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.$. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$?

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm $A\left( {3; - 3;2} \right)$?

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + mz = 0$ và đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}$. Tìm tham số $m$ để $d \bot \left( P \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2;3;0} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y - z + 5 = 0$ là

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và $B\left( {5;4; - 1} \right)$ là

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$ và ${d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}$. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho

I. Nhận biết

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}$. Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;0; - 1} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0$ là

Cho đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):$$3x - 4y + 14z - 5 = 0$. Tìm khẳng định đúng?