Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm \(M\) trong không gian \(Oxyz\) như hình bên. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Biết \(OM = 70,\left( {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OH} } \right) = 64^\circ \), \(\left( {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow {OM} } \right) = 48^\circ \). Tìm tọa độ điểm \(M\).
A. \(M\left( {37,2;14,7;30,1} \right).\)
B. \(M\left( {14,7;37,2;30,1} \right).\)
C. \(M\left( {30,1;14,7;37,2} \right).\)
D. \(M\left( {14,7;30,1;37,2} \right).\)
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có tam giác \(OMH\) vuông tại \(H\) có \(OM = 50,\widehat {OMH} = 48^\circ \) nên ta có:
\(OH = OM.\cos 48^\circ \approx 33,5\); \(OC = MH = OM.\sin 48^\circ \approx 37,2.\)
Tam giác \(OAH\) vuông tại \(A\), \(OH = 33,5;\widehat {OAH} = 64^\circ \) nên ta có:
\(OA = OH.\cos 64^\circ \approx 14,7\); \(OB = AH = OH.\cos 64^\circ \approx 30,1.\)
Có: \(C\left( {0;0;37,2} \right);H\left( {30,1;14,7;0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {HM} \) với \(M\left( {x;y;z} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 30,1 = 0\\y - 14,7 = 0\\z - 37,2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30,1\\y = 14,7\\z = 37,2\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {14,7;30,1;37,2} \right).\)
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 5\overrightarrow j - 7\overrightarrow k \). Tìm tọa độ của điểm đối xứng \(M'\) của \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) có tâm \(I\) có tọa độ các đỉnh \(B\left( {3;1;0} \right)\), \(D\left( {0;4; - 6} \right)\). Tọa độ điểm \(I\) là
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\), \(B\left( { - 1;2;1} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A\) qua điểm \(B\) ?
I. Nhận biết
Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {3;4;1} \right)\) lên trục \(Ox\) có tọa độ là
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {2; - 1;0} \right)\) và \(B\left( {1;1; - 3} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là
Trong không gian \(Oxyz\), hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có tọa độ là
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow i + a\overrightarrow j + 6\overrightarrow k \). Tìm giá trị của tham số a để \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow v \).
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết \(A\left( {2;4;0} \right)\), \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(C\left( { - 1;4; - 7} \right)\) và \(D'\left( {6;8;10} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(B'\).
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = 2a\), \(OC = a\sqrt 2 \). Khi đó vectơ \(\overrightarrow {AB} \left( {m;n;p} \right)\). Khi \(a = 1\) hãy tính giá trị của biểu thức \(T = m + n + p.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j - \overrightarrow k \). Tọa độ \(\overrightarrow u \) là
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(I\left( {1;2;3} \right)\). Điểm đối xứng với \(A\) qua trục \(Oz\) có tọa độ là
II. Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hình bình hành \(ABCD\) và các đỉnh có tọa độ lần lượt là \(A\left( {3;1;2} \right),B\left( {1;0;1} \right),C\left( {2;3;0} \right)\). Tọa độ đỉnh \(D\) là
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( { - 3;2;1} \right)\) và điểm \(A\left( {4;6; - 3} \right)\). Tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \) là:
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(M\left( {8;4;3} \right)\). Khi đó:
a) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Ox\) là điểm \(\left( {0;4;3} \right)\).
b) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oz\) là điểm \(\left( {0;0;3} \right)\).
c) Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục \(Oxz\) là điểm \(\left( {8;0;3} \right)\).
d) \(\overrightarrow {OM} = 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 3\overrightarrow k .\)
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Tọa độ của \(H'\) đối xứng với \(H\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là
