Giả sử \[F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}{e^x}.\] Tính tích \[P = abc\].
A. 4.
B. −4.
C. 5.
D. 1.
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{x^2}{e^x}dx} \]
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Suy ra \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} \] (1)
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
Do đó, \[\int {x{e^x}dx} = x{e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x}\] (2).
Thay (2) vào (1), ta được: \[F\left( x \right) = {x^2}{e^x} - 2\left( {x{e^x} - {e^x}} \right)\]
\[F\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2{e^x} + 2} \right){e^x}\].
Do đó, \[a = 1,b = - 2,c = 2\].
Vậy \[P = abc = - 4.\]
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\] Tính \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).\]
Hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[y = \ln x\] nếu
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\] là
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^{3x}}\left( {1 - 3{e^{ - 5x}}} \right)\]
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = x + \sin x\] và \[f\left( 0 \right) = 1\]. Tìm \[f\left( x \right)\]
Cho các mệnh đề dưới đây:
(I). \[F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + \frac{1}{x}.\]
(II). \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {5x + 3} \right)}^6}}}{6} + C\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}\].
(III). \[F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C\] là nguyên hàm của hàm số
\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3}\sqrt x }}{7} - 2{x^2}\sqrt x + \frac{2}{3}x\sqrt x + C.\]
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
Biết \[\int {\sin 3x{e^x}dx = F\left( x \right) + C} \] và \[F\left( 0 \right) + C = 1\]. Khi đó C bằng
Biết \[F\left( x \right) = \sin x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right).{e^x}\]. Biết hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right).{e^x}\].
Giả sử \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {x + 3} \right)}}{{{x^2}}}\] với \[x > - 3\] sao cho \[F\left( { - 2} \right) + F\left( 1 \right) = 0\]. Giá trị của \[F\left( { - 1} \right) + F\left( 2 \right)\] bằng
