Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {3; - 2; - 2} \right)\], \[B\left( {3;2;0} \right)\], \[C\left( {0;2;1} \right)\]. Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
A. \[2x - 3y + 6z + 12 = 0.\]
B. \[2x - 3y - 6z - 12 = 0.\]
C. \[2x - 3y + 6z = 0.\]
D. \[2x + 3y + 6z + 12 = 0.\]
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right)\].
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\4&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\3&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&4\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right)\]\[ = \left( {4; - 6;12} \right) = 2\left( {2; - 3;6} \right).\]
Suy ra \[\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là:
\[2\left( {x - 3} \right) + \left( { - 3} \right)\left( {y - 2} \right) + 6\left( {z - 0} \right) = 0\] hay \[2x - 3y + 6z = 0.\]
III. Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x + my + 3z - 5 = 0\] và \[\left( Q \right):nx - 8y - 6z + 2 = 0\] với \[m,n \in \mathbb{R}\]. Xác định \[m,n\] để \[\left( P \right)\] song song với \[\left( Q \right)\].
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\]. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\]?
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\] đi qua điểm nào dưới đây?
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[M\left( { - 1;2;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]: \[2x - 2y + z + 1 = 0\]. Khoảng cách từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] là
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 2z - 4 = 0\]. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\left( {3;1; - 2} \right)\] lên mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Độ dài đoạn thẳng \[MH\] là
I. Nhận biết
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]?
II. Thông hiểu
Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {2;1;3} \right)\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)\] là
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\] và \[\left( Q \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\]. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] là
Trong không gian \[Oxyz\], khoảng cách giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0\] là
Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 2z - 5 = 0\]; \[\left( Q \right):4x - 2y + 4z + 1 - m = 0\] và điểm \[M\left( {2;1;5} \right)\]. Khi đó:
a) Khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \[\frac{8}{3}.\]
b) Với \[m = 0\] thì khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[\frac{9}{2}.\]
c) Với \[m = 3\] thì khoảng cách giữa mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[3.\]
d) Có hai giá trị của \[m\] để khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng 1. Khi đó tổng của tất cả các giá trị \[m\] bằng 5.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {0;1;2} \right),B\left( {2; - 2;0} \right),\] \[C\left( { - 2;0;1} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\], trực tâm \[H\] của tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] có phương trình là
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right):2x + y + z + 1 = 0\]. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Trong không gian \[Oxyz\], cho \[A\left( {0;1;1} \right)\], \[B\left( {1;2;3} \right)\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\] và vuông góc với đường thẳng \[AB\].
Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng đi qua điểm \[M\left( {1;3; - 2} \right)\] và song song với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0\] là
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[\left( P \right):ax + by + cz - 27 = 0\] đi qua hai điểm \[A\left( {3;2;1} \right)\] và \[B\left( { - 3;5;2} \right)\] và vuông góc với \[\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\]. Tính tổng \[S = a + b + c.\]
