Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60 độ , kẻ BH vuông góc với AD tại H . Gọi O là giao điểm của AC và BD; E là điểm đối xứng của B qua H; F là điểm đối xứng của C qua B.

a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác ABCE là hình thang cân.

c)

Kẻ $AK\perp OE$ tại K. Gọi L là trung điểm của đoạn EK. Chứng minh AL//FK.

a) Xét tam giác ABD có AB = AD (do ABCD là hình thoi)

Suy ra tam giác ABD cân

Mà  $\widehat{BAD}={60}^0$nên tam giác ABD đều

Ta lại có BH là đường cao nên BH cũng là đường trung tuyến của

tam giác ABD. 

suy ra H là trung điểm của AD.

Xét tứ giác ABDE có hai đường chéo AD và BE cắt nhau tại H

H là trung điểm của BE (do B và E đối xứng với nhau qua H)

H là trung điểm của AD (cmt)

Do đó ABDE là hình bình hành

Mà $AD\perp BE$ tại H (gt).

suy ra ABDE là hình thoi.

b. Ta có DE//AB (ABDE là hình thoi) và DC//AB (ABCD là hình thoi) nên ED, DC trùng nhau

suy ra E,D,C thẳng hàng

Xét tứ giác ABCE có AB // DE nên tứ giác ABCE là hình thang (1)

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}={60}^0$(hai góc đối trong hình thoi ABCD)

Do tam giác ABD đều nên AB = BD = AD = AE = DE

Suy ra tam giác AED đều

$\Rightarrow \widehat{AED}={60}^0$           

$\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{BCD}(=60°)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABCE là hình thang cân.

c. Vì ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC giao BD tại O nên O là trung điểm của AC

Xét tam giác ACF có:

O là trung điểm của AC (cmt)

B là trung điểm của CF (C và F đối xứng với nhau qua B)

Suy ra OB là đường trung bình của tam giác ACF.

suy ra OB // AF

Mà BD // AE (ABDE là hình thoi)

Do đó AF trùng với AE hay A, F, E thẳng hàng.

Xét tam giác CFE, có :

D là trung điểm của CE

AD // EF

Suy ra A là trung điểm của EF.

Xét tam giác KFE, có :

L là trung điểm của KE (gt)

A là trung điểm của EF (cmt)

Suy ra AL là đường trung bình của tam giác FKE.

Suy ra AL//FK