Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a2b2+b2a2−8ab+ba

Ta có : ab+ba2=a2b2+2ab.ba+b2a2=a2b2+b2a2+2⇒a2b2+b2a2=ab+ba2−2 Biến đổi biểu thức P về dạng P=3ab+ba2−6−8ab+ba=3ab+ba2−8ab+ba−6 Đặt t=ab+ba⇒t2=ab+ba2 Áp dụng bất đẳng thức x+y2≥4xy ∀x,y với hai số ab và ba ta có: t2=(ab+ba)2≥4ab.ba=4⇔|t|≥2⇔t≥2t≤−2 Biểu thức P trở thành P=3t2−8t−6 Trục đối xứng x=−b2a=43 và hệ số a=3>0. Suy ra hàm số ft=3t2−8t−6 nghịch biến trên khoảng −∞;43 và đồng biến trên khoảng 43;+∞ BBT : Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 2Ta có f(2 )= −10.Vậy minP = minf(t) = −10.Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi:

21/07/2024 117

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 (\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}) - 8 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$

A. $- \frac{34}{3}$

B.4

C.22 D.−10

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có :

${(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} + 2 \frac{a}{b} . \frac{b}{a} + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} + 2 \Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} = {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} - 2$

Biến đổi biểu thức P về dạng

$P = 3 {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} - 6 - 8 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) = 3 {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} - 8 (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) - 6$

Đặt $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \Rightarrow t^{2} = {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức ${(x + y)}^{2} \geq 4 x y \forall x, y$ với hai số $\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$ ta có:

$t^{2} = {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} \geq 4 \frac{a}{b} . \frac{b}{a} = 4 \Leftrightarrow | t | \geq 2 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t \geq 2 \\ t \leq - 2 \end{matrix}$

Biểu thức P trở thành $P = 3 t^{2} - 8 t - 6$

Trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a} = \frac{4}{3}$ và hệ số $a = 3 > 0.$

Suy ra hàm số $f (t) = 3 t^{2} - 8 t - 6$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; \frac{4}{3})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{4}{3}; + \infty)$

BBT :

Từ đây suy ra hàm số f(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 2
Ta có f(2 )= −10.
Vậy minP = minf(t) = −10.
Đáp án cần chọn là: D

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một cái cổng hình parabol có dạng $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ có chiều rộng d = 4m.

Tính chiều cao h của cổng (xem hình minh họa)

Xem đáp án » 14/10/2022 166

Câu 2:

Xác định Parabol (P): $y = a x^{2} + b x + 2$ biết rằng Parabol đi qua hai điểm M(1;5) và N(2;−2).

Xem đáp án » 14/10/2022 148

Câu 3:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình $|x^{2} - 3 x + 2| = m$ có bốn nghiệm thực phân biệt.

Xem đáp án » 14/10/2022 138

Câu 4:

Xác định Parabol (P): $y = a x^{2} + b x - 5$ biết rằng Parabol đi qua điểm A(3;−4) và có trục đối xứng x = − $\frac{3}{2}$

Xem đáp án » 14/10/2022 134

Câu 5:

Viết phương trình của Parabol (P) biết rằng (P) đi qua các điểm A(0;2), B(−2;5), C(3;8)

Xem đáp án » 14/10/2022 131

Câu 6:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) biết rằng $f (x + 2) = x^{2} - 3 x + 2$ trên $ℝ$

Xem đáp án » 14/10/2022 130

Câu 7:

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $2 x^{2} - 2 x + 1 - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Xem đáp án » 14/10/2022 129

Câu 8:

Cho hàm số $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$

Xét các mệnh đề sau:

(i) $f (x - 1) = x^{2} - 4$

(ii) Hàm số đã cho đồng biến trên $(- 1; + \infty)$

(iii) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là một số âm.

(iv) Phương trình $f (x) = m$ có nghiệm khi $m \geq - 4$

Số mệnh đề đúng là:

Xem đáp án » 14/10/2022 127

Câu 9:

Tìm các giá trị của m để hàm số $y = x^{2} + m x + 5$ luôn đồng biến trên $(1; + \infty)$

Xem đáp án » 14/10/2022 127

Câu 10:

Tìm các giá trị của tham số m để $2 x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 2 m + 4 \geq 0 (\forall x)$

Xem đáp án » 14/10/2022 126

Câu 11:

Một chiếc cổng parabol dạng $y = - 12 x^{2}$ có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng ?

Xem đáp án » 14/10/2022 126

Câu 12:

Xác định Parabol (P): $y = a x^{2} + b x + 3$ biết rằng Parabol có đỉnh I(3;−2).

Xem đáp án » 14/10/2022 120

Câu 13:

Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:

Quãng đường

Giá cước (VNĐ/km)

Từ 0 đến 10 km

10 000

Từ trên 10 km đến 40 km

15 000

Trên 40 km

12 500

Ngày Valentine, hãng X áp dụng chương trình giảm giá 10% cho khách hàng, tối đa 50000VNĐ. Một người đi taxi của hãng X trong dịp này phải trả 360000VNĐ thì người đó đã đi quãng đường là bao nhiêu?

Xem đáp án » 14/10/2022 119

Câu 14:

Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:

Quãng đường

Giá cước (VNĐ/km)

Từ 0 đến 10 km

10 000

Từ trên 10 km đến 40 km

15 000

Trên 40 km

12 500

Thiết lập công thức liên hệ giữa quãng đường di chuyển và số tiền tương ứng phải trả. Nếu một người đi taxi của hãng X phải trả số tiền xe là 475000VNĐ thì người đó đã đi quãng đường là bao nhiêu?

Xem đáp án » 14/10/2022 113

Câu 15:

Bảng giá cước của một hãng taxi X được cho như bảng dưới đây:

Quãng đường

Giá cước (VNĐ/km)

Từ 0 đến 10 km

10 000

Từ trên 10 km đến 40 km

15 000

Trên 40 km

12 500

Một người đi taxi của hãng X từ A đến B, sau đó phải bắt taxi một lần nữa để đi từ B đến C. Biết quãng đường AB trong khoảng từ 10 đến 40 km, quãng đường BC dài hơn quãng đường AB là 32 km. Số tiền người đó phải trả ở quãng đường BC gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường AB. Tính độ dài quãng đường AB.

Xem đáp án » 14/10/2022 113

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 4598 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 3542 lượt thi Thi thử
Câu ước

2 đề 2979 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 2333 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Tiếng Anh có đáp án

3 đề 2294 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề đời sống - Đề 1

2 đề 1989 lượt thi Thi thử
Tìm lỗi sai trong câu

2 đề 1701 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 1685 lượt thi Thi thử
Tế bào nhân sơ (Phần 1)

2 đề 1667 lượt thi Thi thử
Thì quá khứ hoàn thành

2 đề 1455 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Quãng đường	Giá cước (VNĐ/km)
Từ 0 đến 10 km	10 000
Từ trên 10 km đến 40 km	15 000
Trên 40 km	12 500

Quãng đường	Giá cước (VNĐ/km)
Từ 0 đến 10 km	10 000
Từ trên 10 km đến 40 km	15 000
Trên 40 km	12 500

Quãng đường	Giá cước (VNĐ/km)
Từ 0 đến 10 km	10 000
Từ trên 10 km đến 40 km	15 000
Trên 40 km	12 500