Trên nửa đường tròn (O;R) đường kính BC, lấy điểm A sao cho BA = R.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tính số đo các góc B, C của tam giác vuông ABC.

b) Qua B kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O), nó cắt tia CA tại D. Qua D kẻ tiếp tuyến DE với nửa đường tròn (O) (E là tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OD và BE. Chứng minh rằng $O D ⊥ B E v à D I . D O = D A . D C$

c) Kẻ EH vuông góc với BC tại H. EH cắt CD tại G. Chứng minh IG song song với BC.

Giải bởi Vietjack

a) Ta có OA = R, BC = 2R

$\Rightarrow O A = O B = O C = \frac{B C}{2} = R$

$\Rightarrow Δ A B C$ vuông tại A(định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Ta có $\sin C = \frac{A B}{B C} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{C} = 30^{0}$

$\hat{B} = 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$

b) Vì DB, DE là 2 tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow D B = D E$ và OB = OE = R

$\Rightarrow$ OD là đường trung trực BE $\Rightarrow O D ⊥ B E$

$Δ D B O$ vuông tại B, BI là đường cao

$\Rightarrow D I . D O = D B^{2}$ (áp dụng hệ thức lượng) (1)

$Δ D B C$ vuông tại B, BA là đường cao

$\Rightarrow D B^{2} = D A . D C$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông ) (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow D I . D O = D A . D C$

c) Kéo dài CE cắt BD tại F. Vì $\hat{B E C} = 90^{0} \Rightarrow \hat{B E F} = 90^{0}$ (tính chất kề bù)

mà DB = DE (chứng minh trên)

suy ra ED là đường trung tuyến $Δ F E B$ vuông tại E $\Rightarrow B D = D F$

Vì GH // BD (cùng $⊥ B C)$ $\Rightarrow \frac{G H}{B D} = \frac{G C}{D C} (T a - l e t) (3)$

Vì GE // DF (cùng $⊥ B C)$ $\Rightarrow \frac{G E}{D F} = \frac{G C}{D C} (4)$

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \frac{G H}{B D} = \frac{G E}{D F} d o B D = D F (c m t) \Rightarrow G H = G E$

Mà IB = IC (OD trung trực BE)

Do đó IG là đường trung bình tam giác EHB

$\Rightarrow I G / / B H \Rightarrow I G / / B C (d p c m)$

Xem đáp án » 14/10/2022 119

Xem đáp án » 14/10/2022 94

Xem đáp án » 14/10/2022 93

Xem đáp án » 14/10/2022 90

Xem đáp án » 14/10/2022 81

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »