Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P

a) Chứng minh $\Delta PAC~\Delta PBA$

b) Chứng minh : $P{A}^2=PB.PC$

c) Tia phân giác trong của góc $\angle A$ cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh $M{B}^2=MA.MD$

Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường.

Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được $\frac{3}{4}$ bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Trong một kỳ thi, hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có 338 học sinh trúng tuyển, tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I

a) Chứng minh : $\frac{IB}{I\text{}C}=\frac{A{B}^2}{A{C}^2}$

b) Tính IA, IC biết rằng $AB=20cm,AC=28cm,BC=24cm$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường tròn (O) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh $OA\perp BD$

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48m. Nếu tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.

Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị, nếu viết thêm chữ số 1 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 460 đơn vị.

Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O), ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn. Chứng minh $M{T}^2=MA.MB$

Trong hội trường có một số băng ghế, mỗi băng ghế quy định ngồi một số người như nhau. Nếu bớt 2 băng ghế và mỗi băng ghế ngồi thêm 1 người thì thêm được 8 người. Nếu thêm 3 băng ghế và mỗi băng ghế bớt 1 người thì giảm 8 chỗ. Tính số băng ghế trong hội trường.

Một bè gỗ thả trôi sông từ A. Sau khi bè gỗ trôi được 3 giờ 20 phút, một người chèo thuyền từ A đuổi theo và đi được 10km thì gặp bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ, biết vận tốc người chèo thuyền lớn hơn vận tốc bè gỗ là 4km/h

Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút. Cho biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian ngược dòng 4km. Hãy tính vận tốc dòng nước.

Một tam giác có chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm $12d{m}^2.$ Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Một đội công nhân theo kế hoạch mỗi ngày là 400 chi tiết máy. Do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày làm được 520 chi tiết máy, vì vậy đội không những xong kế hoạch trước 2 ngày mà còn làm được thêm 40 chi tiết máy. Tính thời gian và tổng số chi tiết máy mà đội công nhân phải làm theo kế hoạch

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại P. Từ một điểm A của (O) kẻ hai tiếp tuyến (O') với (O) cắt AP tại C. Tia AP cắt (O') tại D.

Chứng minh : $\angle CPB=\angle BPD$