Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

$\left(d_1\right):\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1},$$\left(d_2\right):\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1},\left(d_3\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1},\left(d_4\right):\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}.$

 Gọi D là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên, phương trình đường thẳng D là:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left(d_1\right):\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1},\left(d_2\right):\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1},\left(d_3\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1},$

$\left(d_4\right):\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$có các véc-tơ chỉ phương là:

$\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{u_2}=\left(1;-2;1\right);\overrightarrow{u_3}=\left(2;1;1\right);\overrightarrow{u_2}=\left(1;-2;1\right)$

Do (d₁) // (d₂) nên tạo ra một mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng trên

Lấy hai điểm A(3; -1; -1) và B(0; 0; 1) lần lượt thuộc hai đường thẳng (d₁) và (d₂)

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;1;2\right)$

Hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{u_1}$  thuộc mặt phẳng (P) nên đều vuồng góc với véc-tơ pháp tuyến của (P)

$\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{u_1}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3& 1\\ 1& -2\end{array}\right|\right)$

= (5; 5; 5)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua B(0; 0; 1) nhận (1; 1; 1) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình

(P): x + y + z - 1 = 0

Để D cắt cả hai đường thẳng (d₁) và (d₂) thì D thuộc mặt phẳng (P)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d₃) và (d₄) với mặt phẳng (P) ta có

+) $\left(d_3\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=1+2m\\ y=-1+m\\ z=1+m\end{array}\right.$

Thay vào mặt phẳng (P) ta thấy 1 + 2m - 1 + m + 1 + m - 1 = 0 Û m = 0

Vậy suy ra M(1; -1; 1)

+) $\left(d_4\right):\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=n\\ y=1-n\\ z=1+n\end{array}\right.$

Thay vào mặt phẳng (P) ta thấy n + 1 - n + 1 + n - 1 = 0 Û n = -1

Vậy suy ra N(-1; 2; 0)

Đường thẳng D thuộc mặt phẳng (P) mà cắt cả hai đường thẳng (d₃) và (d₄) nên D phải đi qua hai điểm M và N

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(-2;3;-1\right)$

Phương trình đường thẳng D đi qua N(-1; 2; 0) nhận véc-tơ $\overrightarrow{MN}=\left(-2;3;-1\right)$  làm véc-tơ là

$\left(\Delta \right):\frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-1}$

$\iff \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z}{1}$

$\iff \frac{x+1}{2}-2=\frac{y-2}{-3}-2=\frac{z}{1}-2$

$\iff \frac{x-3}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z-2}{1}.$