49 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 4

Câu 1:

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x - x² và y = 0. Vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox có thể tích bằng

A. $\frac{16 π}{15};$

B. $\frac{17 π}{15};$

C. $\frac{18 π}{15};$

D. $\frac{19 π}{15} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x - x² và y = 0 là nghiệm của phương trình

2x - x² = 0

Û x(2 - x) = 0

$\Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 2 - x = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \end{matrix}$

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục ta có

$V = π \int_{0}^{2} {(2 x - x^{2})}^{2} d x = π \int_{0}^{2} (4 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}) d x$

$= π {(\frac{4 x^{3}}{3} - x^{4} + \frac{x^{5}}{5})|}_{0}^{2} = π (\frac{{4.2}^{3}}{3} - 2^{4} + \frac{2^{5}}{5})$

$= \frac{16 π}{15}$

Vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox có thể tích bằng $\frac{16 π}{15} .$

Câu 2:

Kí hiệu z₁; z₂ là hai nghiệm của phương trình z² + z + 1 = 0. Tính P = z₁² + z₂²+ z₁z₂.

A. P = 2;

B. P = -1;

C. P = 0;

D. P = 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

z² + z + 1 = 0

Theo Vi-ét ta có $\{\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - 1 \\ z_{1} z_{2} = 1 \end{matrix}$

Ta có:

P = z₁² + z₂²+ z₁z₂

= (z₁ + z₂)² - 2z₁z₂ + z₁z₂

= (z₁ + z₂)² - z₁z₂

= (-1)² - 1 = 0

Vậy P = 0.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng (P_m): mx + 2y + nz + 1 = 0 và (Q_m): x - my + nz + 2 = 0 cùng vuông góc với mặt phẳng (a): 4x - y - 6z + 3 = 0. Khi đó ta có

A. m + n = 0;

B. m + n = 2;

C. m + n = 1;

D. m + n = 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P_m) và (Q_m) vuông góc với mặt phẳng (a) hay (P_m) và (Q_m) đều vuông góc với (a)

Vậy $\vec{n_{α}}$ có phương vuông góc với $\vec{n_{P}}$ và $\vec{n_{Q}}$

$\{\begin{matrix} \vec{n_{α}} . \vec{n_{P}} = 0 \\ \vec{n_{α}} . \vec{n_{Q}} = 0 \end{matrix} (1)$

Lại có:

+) (P_m): mx + 2y + nz + 1 = 0

$\Rightarrow \vec{n_{P}} = (m; 2; n)$

+) (Q_m): x - my + nz + 2 = 0

$\Rightarrow \vec{n_{Q}} = (1; - m; n)$

+) (a): 4x - y - 6z + 3 = 0

$\Rightarrow \vec{n_{α}} = (4; - 1; - 6)$

Từ đó hệ phương trình (1) trở thành

$\{\begin{matrix} (4; - 1; - 6) . (m; 2; n) = 0 \\ (4; - 1; - 6) . (1; - m; n) = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 m - 2 - 6 n = 0 \\ 4 + m - 6 n = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 m - 3 n = 1 \\ m - 6 n = - 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 m = 6 \\ 3 n = 2 m - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 2 \\ n = 1 \end{matrix}$

Khi đó ta có: m + n = 2 + 1 = 3.

Câu 4:

Trên khoảng (0; +¥), họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{\frac{5}{2}}

là:

A. $\int f (x) d x = \frac{7}{2} x^{\frac{7}{2}} + C;$

B. $\int f (x) d x = \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C;$

C. $\int f (x) d x = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}} + C;$

D. $\int f (x) d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ là:

$\int f (x) d x = \int x^{\frac{5}{2}} d x = \frac{2}{7} \int \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} d x$

$= \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$ trên khoảng (0; +¥).

Câu 5:

Nếu $\int f (x) d x = \frac{1}{x^{2}} + \ln x + C$ thì f (x) là

A. $f (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x};$

B. $f (x) = \frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{x};$

C. $f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{3}};$

D. $f (x) = \frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int f (x) d x = \frac{1}{x^{2}} + \ln x + C$

$\Rightarrow f (x) = {(\frac{1}{x^{2}} + \ln x + C)}^{'}$

$= \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{1}{x} = \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} = \frac{x^{2} - 2}{x^{3}} .$

Câu 6:

Cho hàm số f (x) xác định và liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = -2 và x = 3 (như hình vẽ). Khẳng định nào dưới đây đúng?

Media VietJack

A. $S = - \int_{- 2}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{3} f (x) d x;$

B. $S = \int_{- 2}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{3} f (x) d x;$

C. $S = - \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x;$

D. $S = \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = -2 và x = 3 là

$S = \int_{- 2}^{3} |f (x)| d x = \int_{- 2}^{1} |f (x)| d x + \int_{1}^{3} |f (x)| d x$

$= \int_{- 2}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{3} f (x) d x .$

Câu 7:

Môđun của số phức z = -2 + 4i bằng

A. 4;

B. 2;

C. $\sqrt{5};$

D. $2 \sqrt{5} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Môđun của số phức z = -2 + 4i bằng

$|z| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5} .$

Câu 8:

Nếu

\int_{2}^{5} f (x) d x = 3

thì

\int_{2}^{5} 4 f (x) d x

bằng

A. 12;

B. 7;

C. 1;

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{2}^{5} 4 f (x) d x = 4. \int_{2}^{5} f (x) d x = 4.3 = 12.$

Câu 9:

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f '(x) = 12x² + 2, "x Î ℝ và f (-1) = 3. Biết F (x) là nguyên hàm của f (x) thỏa mãn F (-2) = 2, khi đó F (1) bằng

A. 15;

B. 11;

C. 6;

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

f (x) là một nguyên hàm của f '(x) có

$f (x) = \int f' (x) d x = \int (12 x^{2} + 2) d x$

= 4x³ + 2x + C

Mà ta có f (-1) = 3 nên suy ra

4.(-1)³ + 2.(-1) + C = 3

Û C - 6 = 3 Û C = 9

Vậy ta có f (x) = 4x³ + 2x + 9

Lại có F (x) là nguyên hàm của f (x) nên suy ra

$F (x) = \int f (x) d x = \int (4 x^{3} + 2 x + 9) d x$

= x⁴ + x² + 9x + C

Mà F (-2) = 2 nên suy ra

(-2)⁴ + (-2)² + 9.(-2) + C = 2

Û C + 2 = 2 Û C = 0

Vậy ta có F (x) = x⁴ + x² + 9x

Khi đó, F (1) = 1⁴ + 1² + 9.1 = 11.

Câu 10:

Nếu

\int_{2}^{5} f (x) d x = 3

và

\int_{2}^{5} g (x) d x = - 2

thì

\int_{2}^{5} [f (x) - g (x)] d x

bằng

A. 5;

B. -5;

C. 1;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{2}^{5} [f (x) - g (x)] d x = \int_{2}^{5} f (x) d x - \int_{2}^{5} g (x) d x$

= 3 - (-2) = 3 + 2 = 5.

Câu 11:

Cho hàm số f (x) = x + cos x. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C;$

B. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} - \sin x + C;$

C. $\int f (x) d x = 1 + \sin x + C;$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos^{2} x}{2} + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: f (x) = x + cos x nên suy ra

$\int f (x) d x = \int (x + \cos x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C .$

Câu 12:

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} [3 f (x) - 2 x] d x$ bằng

A. 4;

B. -2;

C. 2;

D. -4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int_{1}^{3} [3 f (x) - 2 x] d x$

$= 3 \int_{1}^{3} f (x) d x - \int_{1}^{3} 2 x d x = 3.2 - {x^{2}|}_{1}^{3}$

= 6 - (3² - 1²) = 6 - 8 = -2.

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = - 3 - 3 t \end{matrix}$ qua điểm nào dưới đây?

A. Điểm Q(2; 2; 3);

B. Điểm N(2; -2; -3);

C. Điểm M(1; 2; -3);

D. Điểm P(1; 2; 3).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Lần lượt thay các tọa độ của các điểm Q, N, M, P vào phương trình đường thằng d ta thấy được điểm M là điểm thuộc đường thằng d sao cho

$\{\begin{matrix} x_{M} = 1 + 2 t \\ y_{M} = 2 - 2 t \\ z_{M} = - 3 - 3 t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 1 = 1 + 2 t \\ 2 = 2 - 2 t \\ - 3 = - 3 - 3 t \end{matrix} \Rightarrow t = 0$ (thỏa mãn)

Vậy trong các điểm trên, điểm thuộc đường thẳng d là điểm M(1; 2; -3).

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -3; 3) và mặt phẳng (P): 2x + 6y - 2z - 1 = 0. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là

A. $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 3}{- 1};$

B. $\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 3}{- 1};$

C. $\frac{x + 4}{1} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 3}{1};$

D. $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 3}{1} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có véc-tơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng (P) là $\vec{n_{P}} = (2; 6; - 2) \Rightarrow \vec{n_{P}} = (1; 3; - 1)$

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận véc-tơ pháp tuyến của (P) làm véc-tơ chỉ phương

Suy ra: $\vec{u_{d}} = \vec{n_{P}} = (1; 3; - 1)$

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-4; -3; 3) và nhận $\vec{u_{d}} = (1; 3; - 1)$ làm véc-tơ chỉ phương có phương trình là

$(d) : \frac{x + 4}{1} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 3}{- 1} .$

Câu 15:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x² - 4 và y = 2x - 4 bằng

A. 36;

B. $\frac{4}{3};$

C. $\frac{4 π}{3};$

D. 36p.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y = x² - 4 và y = 2x - 4 là nghiệm của phương trình

x² - 4 = 2x - 4

Û x² - 2x = 0

Û x.(x - 2) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x² - 4 và y = 2x - 4 bằng

$S = \int_{0}^{2} |(x^{2} - 4) - (2 x - 4)| d x = \int_{0}^{2} |x^{2} - 2 x| d x$

$= \int_{0}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x = {(- \frac{x^{3}}{3} + x^{2})|}_{0}^{2}$

$= - \frac{2^{3}}{3} + 2^{2} = \frac{4}{3} .$

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 0) và B(3; 0; 2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A. x + y + z - 3 = 0;

B. 2x - y + z + 2 = 0;

C. 2x + y + z - 4 = 0;

D. 2x - y + z - 2 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của AB và có tọa độ của I được xác định:

$\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x_{I} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 \\ y_{I} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \\ z_{I} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \end{matrix}$

Vậy suy ra I(1; 1; 1)

Lại có: $\vec{A B} = (4; - 2; 2)$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng đi qua trung điểm I của AB và nhận $\vec{A B}$ làm véc-tơ pháp tuyến tức là nhận (2; -1; 1) làm véc-tơ pháp tuyến

(P): 2.(x - 1) - (y - 1) + (z - 1) = 0

Û 2x - 2 - y + 1 + z - 1 = 0

Û 2x - y + z - 2 = 0.

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1); B(-1; 1; 3) và mặt phẳng (P): x - 3y + 2z - 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình dạng ax + by + cz - 11 = 0. Khi đó a + b + c bằng

A. 5;

B. 15;

C. -5;

D. -15.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{A B} = (- 3; - 3; 2)$ và $\vec{n_{P}} = (1; - 3; 2)$

Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên suy ra véc-tơ pháp tuyến của (Q) vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của (P) và véc-tơ $\vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{n_{Q}} = [\vec{n_{P}}; \vec{A B}]$

$= (|\begin{matrix} - 3 & 2 \\ - 3 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 & - 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 3 \\ - 3 & - 3 \end{matrix}|)$

= (0; -8; -12) = (0; 2; 3)

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và nhận (0; 2; 3) làm véc-tơ pháp tuyến là

(Q): 2.(y - 1) + 3.(z - 3) = 0

Û 2y + 3z - 11 = 0

Mà ta có: (Q) có phương trình dạng ax + by + cz - 11 = 0 nên suy ra a = 0, b = 2, c = 3

Khi đó a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5.

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q) song với mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 7 = 0. Biết mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S): x² + (y - 2)² + (z + 1)² = 25 theo một đường tròn có bán kính r = 3. Khi đó mặt phẳng (Q) có phương trình là

A. x - y + 2z - 7 = 0;

B. 2x - 2y + z - 7 = 0;

C. 2x - 2y + z - 17 = 0;

D. 2x - 2y + z + 17 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (Q) song với mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:

2x - 2y + z + m = 0 (Với m ¹ -7)

Mặt cầu (S): x² + (y - 2)² + (z + 1)² = 25 có tâm là I(0; 2; -1) và bán kính R = 5

Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) tạo đường tròn tâm H và bán kính là AH = r = 3

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác IAH vuông tại H ta có

$I H = \sqrt{I A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{R^{2} - r^{2}}$

$= \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$

Lại có IH chính là khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (Q) nên ta có

$d_{I / (Q)} = \frac{|2.0 - 2.2 - 1 + m|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{|m - 5|}{3} = 4$

Û |m - 5| = 12

$\Rightarrow [\begin{matrix} m - 5 = 12 \\ m - 5 = - 12 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 17 \\ m = - 7 \end{matrix}$

Mà ta có m ¹ -7 nên m = 17 là giá trị cần tìm của m

Từ đó suy ra phương tình mặt phẳng (Q) là

2x - 2y + z + 17 = 0.

Câu 19:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

A. $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x;$

B. $V = π^{2} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x;$

C. $V = π^{2} \int_{a}^{b} f (x) d x;$

D. $V = 2 π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .$

Câu 20:

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox bằng

A. pln 2;

B. $2 π (\sqrt{2} - 1);$

C. 2p;

D. ln 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành ta có

$V = π \int_{1}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2} d x = π \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

$= π . {\ln |x||}_{1}^{2} = π . \ln 2.$

Câu 21:

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ x £ 3) là hình chữ nhật có hai kích thước là x và $\sqrt{9 - x^{2}}$ ?

A. 3;

B. 9;

C. 18;

D. 36.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Diện tích thiết diện hình chữ nhật là

$S = x . \sqrt{9 - x^{2}}$

Áp dụng công thức tính thể tích khi biết diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox là

$V = \int_{0}^{3} S (x) d x = \int_{0}^{3} x \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Đặt $u = \sqrt{9 - x^{2}} \Rightarrow u^{2} = 9 - x^{2}$

Từ đó ta suy ra được 2u du = -2x dx Û x dx = -u du

Đổi cận:

+) x = 0 Þ u = 3

+) x = 3 Þ u = 0

Vậy suy ra

$V = \int_{0}^{3} x \sqrt{9 - x^{2}} d x = \int_{3}^{0} - u^{2} d u = \int_{0}^{3} u^{2} d u$

${\frac{1}{3} u^{3}|}_{0}^{3} = \frac{1}{3} {.3}^{3} = 9.$

Câu 22:

Cho số phức z = 6 - 2i, khi đó 2z bằng

A. 12 - 4i;

B. 12 - 2i;

C. 3 - i;

D. 6 - 4i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có số phức z = 6 - 2i, khi đó 2z bằng:

2z = 2.(6 - 2i) = 12 - 4i.

Câu 23:

Trên mặt phẳng tọa độ, cho M (2; -3) là điểm biểu diễn của số phức z. Phần ảo của z bằng

A. 2;

B. 3;

C. -3;

D. -2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

M (2; -3) là điểm biểu diễn của số phức z nên ta có

z = 2 - 3i

Vậy suy ra phần ảo của z bằng -3.

Câu 24:

Số phức liên hợp của số phức z = 3 - 2i là

A. $\bar{z} = 3 + 2 i;$

B. $\bar{z} = 2 - 3 i;$

C. $\bar{z} = - 3 + 2 i;$

D. $\bar{z} = - 3 - 2 i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số phức liên hợp của số phức z = 3 - 2i là

$\bar{z} = 3 + 2 i .$

Câu 25:

Cho số phức z thoả mãn $\frac{z}{3 + 2 i} = 1 - i$ . Phần thực của z bằng

A. -1;

B. 1;

C. 5;

D. -5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\frac{z}{3 + 2 i} = 1 - i$

Û z = (1 - i)(3 + 2i)

Û z = 3 - 3i + 2i - 2i²

Û z = 3 - i - 2.(-1) = 5 - i

Vậy phần thực của z bằng 5.

Câu 26:

Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z = 14 - 2i. Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức z là

A. $\bar{z} = 8 - 6 i;$

B. $\bar{z} = 8 + 6 i;$

C. $\bar{z} = 6 - 8 i;$

D.

\bar{z} = 6 + 8 i .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

(1 + i)z = 14 - 2i

$\Leftrightarrow z = \frac{14 - 2 i}{1 + i} = \frac{(14 - 2 i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)}$

$\Leftrightarrow z = \frac{14 - 2 i - 14 i + 2 i^{2}}{1^{2} + 1^{2}} = \frac{14 - 2 i - 14 i - 2}{2}$

$\Leftrightarrow z = \frac{12 - 16 i}{2} = 6 - 8 i$

Từ đó ta có số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức z là $\bar{z} = 6 + 8 i .$

Câu 27:

Cho số phức z = a + bi (a, b Î ℝ, a > 0) thỏa mãn |z - 1 + 2i| = 5 và $z . \bar{z} = 10.$ Khi đó P = a - b có giá trị bằng

A. P = 4;

B. P = -4;

C. P = -2;

D. P = 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

+) $z . \bar{z} = 10$

Þ a² + b² = 10 (1)

+) |z - 1 + 2i| = 5

Þ (a - 1)² + (b + 2)² = 25

Û a² - 2a + 1 + b² + 4b + 4 = 25

Û (a² + b²) - 2a + 4b = 20

Û 10 - 2a + 4b = 20

Û - 2a + 4b = 10

Û - a + 2b = 5

Û a = 2b - 5 (2)

Thay (2) vào (1) ta thấy phương trình (1) trở thành

Û (2b - 5)² + b² = 10

Û 4b² - 20b + 25 + b² = 10

Û 5b² - 20b + 15 = 0

Û b² - 4b + 3 = 0

Û b² - 3b - b + 3 = 0

Û b(b - 3) - (b - 3) = 0

Û (b - 1)(b - 3) = 0

$\Rightarrow [\begin{matrix} b = 1 \\ b = 3 \end{matrix}$

+) Với b = 1 Þ a = 2.1 - 5 = -3 (Loại vì a > 0)

+) Với b = 3 Þ a = 2.3 - 5 = 1 (Thỏa mãn)

Vậy suy ra: a = 1, b = 3

Khi đó P = a - b = 1 - 3 = -2.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua ba điểm A(0; 0; 1), B(0; 2; 0), C(-4; 0; 0) có phương trình là

A. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 4} = 0;$

B. $\frac{x}{- 4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1;$

C. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 0;$

D. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng qua ba điểm A(0; 0; 1), B(0; 2; 0), C(-4; 0; 0) là mặt phẳng đoạn chắn có phương trình:

$\frac{x}{- 4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.$

Câu 29:

Nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z² - 2z + 10 = 0 là:

A. 1 + 3i;

B. -1 + 3i;

C. -1 - 3i;

D. 1 - 3i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình z² - 2z + 10 = 0

Û z² - 2z + 1 = -9

Û (z - 1)² = 9i²

$\Rightarrow [\begin{matrix} z - 1 = 3 i \\ z - 1 = - 3 i \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} z = 1 + 3 i \\ z = 1 - 3 i \end{matrix}$

Vậy suy ra nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z² - 2z + 10 = 0 là:

z = 1 - 3i.

Câu 30:

Gọi z₁ và z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² - z + 3 = 0. Khi đó |z₁| + | z₂| bằng

A. -5;

B. $2 \sqrt{3};$

C. 3;

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

z₁ và z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² - z + 3 = 0

Theo Vi-ét: z₁z₂ = 3

Þ |z₁|.|z₂| = |z₁z₂| = 3

$\Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}$

Khi đó

$|z_{1}| + |z_{2}| = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} .$

Câu 31:

Gọi z₀ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z² - 4z + 13 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z₀ là

A. M(2; 3);

B. P(-2; 3);

C. Q(3; 2);

D. N (-3; 2).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình z² - 4z + 13 = 0

Û z² - 4z + 4 = -9

Û (z - 2)² = 9i²

$\Rightarrow [\begin{matrix} z - 2 = 3 i \\ z - 2 = - 3 i \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} z = 2 + 3 i \\ z = 2 - 3 i \end{matrix}$

Vậy suy ra nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z² - 4z + 13 = 0 là:

z = 2 + 3i

Khi đó điểm biểu diễn của số phức z₀ trên mặt phẳng tọa độ là M(2; 3).

Câu 32:

Kí hiệu z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² - 2z + 6 = 0. Biểu thức $P = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ bằng

A. $\frac{1}{3};$

B. $- \frac{1}{6};$

C. 6;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình z² - 2z + 6 = 0

Theo Vi-ét suy ra $\{\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = 2 \\ z_{1} z_{2} = 6 \end{matrix}$

Biểu thức $P = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} = \frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} z_{2}}$

$= \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

Câu 33:

Phương trình z² + a.z + b = 0, với a, b là các số thực nhận số phức 1 - i là một nghiệm. Khi đó a - b bằng

A. -2;

B. -4;

C. 4;

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số phức z₁ = 1 - i là một nghiệm của phương trình nên suy ra z₂ = 1 + i cũng là một nghiệm của phương trình

Ta có phương trình z² + a.z + b = 0

Theo Vi-ét: $\{\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1} z_{2} = b \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - a = (1 - i) + (1 + i) \\ b = (1 - i) (1 + i) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = - 2 \\ b = 2 \end{matrix}$

Khi đó a - b = (-2) - 2 = -4.

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): 2x - 6y + 4z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\vec{n} = (1; - 3; 2);$

B. $\vec{n} = (1; 2; 3);$

C. $\vec{n} = (2; 6; 4);$

D.

\vec{n} = (4; - 6; 2) .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P): 2x - 6y + 4z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n} = (2; - 6; 4) \Leftrightarrow \vec{n} = (1; - 3; 2) .$

Câu 35:

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 1; 2), B(-1; 3; -9). Tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho DABM vuông tại A là

A. M(0; 11; 0);

B. M(0; -11; 0);

C. M(0; -1; 0);

D. M(0; 1; 0).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

M thuộc Oy nên M có tọa độ là M(0; m; 0)

Ta có:

+) $\vec{A B} = (- 2; 2; - 11)$

+) $\vec{A M} = (- 1; m - 1; - 2)$

Tam giác ABM vuông tại A nên AM ^ AB

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{A B} = 0$

Û (-1).(-2) + (m - 1).2 + (-11).(-2) = 0

Û 2 + 2m - 2 + 22 = 0

Û 2m + 22 = 0 Û m = -11

Vậy khi đó tọa độ điểm M là M(0; -11; 0).

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 3; - 2)$ và $\vec{v} = (2; 1; - 1)$ . Tọa độ của vectơ $\vec{u} + \vec{v}$ là

A. (3; 4; -3);

B. (-1; 2; -3);

C. (-1; 2; -1);

D. (1; -2; 1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\vec{u} + \vec{v} = (1; 3; - 2) + (2; 1; - 1)$

= (3; 4; -3).

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, tọa độ một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a} = (1; 1; - 2)$ và $\vec{b} = (3; - 2; - 1)$ là

A. (1; 1; -1);

B. (1; 1; 1);

C. (1; -1; -1);

D. (-1; 1; -1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Một vectơ $\vec{c}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a} = (1; 1; - 2)$ và $\vec{b} = (3; - 2; - 1)$ nên suy ra

$\vec{c} = [\vec{a}; \vec{b}] = (|\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 1 \\ 3 & - 2 \end{matrix}|)$

= (-5; -5; -5) = – 5.(1; 1; 1).

Vậy suy ra véc-tơ cần tìm là (1; 1; 1).

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 0; 2), B(1; -1; -2), C(-1;1 ; 0), D(-2; 1; 2). Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng

A. 14;

B. $\frac{14}{3};$

C. 7;

D. $\frac{7}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+) $\vec{A B} = (- 1; - 1; - 4)$

+) $\vec{A C} = (- 3; 1; - 2)$

+) $\vec{A D} = (- 4; 1; 0)$

Từ đó suy ra $\vec{u} = [\vec{A B}; \vec{A C}]$

$= (|\begin{matrix} - 1 & - 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 4 & - 1 \\ - 2 & - 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ - 3 & 1 \end{matrix}|)$

= (6; 10; -4)

Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}; \vec{A C}] . \vec{A D}| = \frac{1}{6} |\vec{u} . \vec{A D}|$

$= \frac{1}{6} |6. (- 4) + 10 + 0| = \frac{1}{6} . |- 14| = \frac{7}{3} .$

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; 3; 1) và B(5; 6; 2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tỉ số $\frac{A M}{B M}$ bằng

A. $\frac{1}{2};$

B. 2;

C. $\frac{1}{3};$

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{A B} = (7; 3; 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua A(-2; 3; 1) nhận $\vec{A B} = (7; 3; 1)$ làm véc-tơ chỉ phương là

$A B : \{\begin{matrix} x = - 2 + 7 t \\ y = 3 + 3 t \\ z = 1 + t \end{matrix}$

Gọi M là giao điểm của AB và mặt phẳng (Oxz) nên suy ra M(a; 0; b) thuộc AB

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a = - 2 + 7 t \\ 0 = 3 + 3 t \\ b = 1 + t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = - 2 - 7 \\ t = - 1 \\ b = 1 - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = - 9 \\ t = - 1 \\ b = 0 \end{matrix}$

Từ đó suy ra M(-9; 0; 0)

Vậy ta có:

+) $A M = \sqrt{{(- 9 + 2)}^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{59}$

+) $B M = \sqrt{{(- 9 - 5)}^{2} + {(- 6)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{59}$

Từ đó suy ra được tỉ số $\frac{A M}{B M} = \frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{59}} = \frac{1}{2} .$

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): (x + 1)² + (y - 2)² + z² = 9 có bán kính bằng

A. 3;

B. 81;

C. 9;

D. 6;

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): (x + 1)² + (y - 2)² + z² = 9 có bán kính bằng R = 3.

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

$(d_{1}) : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},$ $(d_{2}) : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, (d_{3}) : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}, (d_{4}) : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1} .$

Gọi D là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng trên, phương trình đường thẳng D là:

A. $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 2}{1};$

B. $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 2}{1};$

C. $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 2}{1};$

D. $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z + 2}{1} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $(d_{1}) : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}, (d_{2}) : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}, (d_{3}) : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1},$

$(d_{4}) : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ có các véc-tơ chỉ phương là:

$\vec{u_{1}} = \vec{u_{2}} = (1; - 2; 1); \vec{u_{3}} = (2; 1; 1); \vec{u_{2}} = (1; - 2; 1)$

Do (d₁) // (d₂) nên tạo ra một mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng trên

Lấy hai điểm A(3; -1; -1) và B(0; 0; 1) lần lượt thuộc hai đường thẳng (d₁) và (d₂)

Ta có $\vec{A B} = (- 3; 1; 2)$

Hai véc-tơ $\vec{A B}$ và $\vec{u_{1}}$ thuộc mặt phẳng (P) nên đều vuồng góc với véc-tơ pháp tuyến của (P)

$\Rightarrow \vec{n_{P}} = [\vec{A B}; \vec{u_{1}}]$

$= (|\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & - 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 3 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}|)$

= (5; 5; 5)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua B(0; 0; 1) nhận (1; 1; 1) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình

(P): x + y + z - 1 = 0

Để D cắt cả hai đường thẳng (d₁) và (d₂) thì D thuộc mặt phẳng (P)

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d₃) và (d₄) với mặt phẳng (P) ta có

+) $(d_{3}) : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x = 1 + 2 m \\ y = - 1 + m \\ z = 1 + m \end{matrix}$

Thay vào mặt phẳng (P) ta thấy 1 + 2m - 1 + m + 1 + m - 1 = 0 Û m = 0

Vậy suy ra M(1; -1; 1)

+) $(d_{4}) : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x = n \\ y = 1 - n \\ z = 1 + n \end{matrix}$

Thay vào mặt phẳng (P) ta thấy n + 1 - n + 1 + n - 1 = 0 Û n = -1

Vậy suy ra N(-1; 2; 0)

Đường thẳng D thuộc mặt phẳng (P) mà cắt cả hai đường thẳng (d₃) và (d₄) nên D phải đi qua hai điểm M và N

Ta có: $\vec{M N} = (- 2; 3; - 1)$

Phương trình đường thẳng D đi qua N(-1; 2; 0) nhận véc-tơ $\vec{M N} = (- 2; 3; - 1)$ làm véc-tơ là

$(Δ) : \frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{- 1}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{1}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} - 2 = \frac{y - 2}{- 3} - 2 = \frac{z}{1} - 2$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 2}{1} .$

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; -2; 6), B(0; 1; 0) và mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25. Mặt phẳng (P): ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A, B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Biểu thức T = a + b + c có giá trị bằng

A. 3;

B. 5;

C. 2;

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 25 có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5

Mặt phẳng (P): ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A, B nên ta có hệ phương trình

$\{\begin{matrix} 3 a - 2 b + 6 c - 2 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 a + 6 c - 6 = 0 \\ b = 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 2 - 2 c \\ b = 2 \end{matrix}$

Từ đó mặt phẳng (P) trở thành

(P): (2 - 2c)x + 2y + cz - 2 = 0

Để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

thì khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là lớn nhất

$\Rightarrow d_{I / (P)} = \frac{|(2 - 2 c) .1 + 2.2 + c .3 - 2|}{\sqrt{{(2 - 2 c)}^{2} + 2^{2} + c^{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{|c + 4|}{\sqrt{5 c^{2} - 8 c + 8}}$

+) Xét c = 0 $\Rightarrow d_{I / (P)} = \frac{4}{\sqrt{8}} = \sqrt{2} < R$

+) Xét c ¹ 0 nên ta có

$d_{I / (P)} = \frac{|1 + \frac{4}{c}|}{\sqrt{5 - \frac{8}{c} + \frac{8}{c^{2}}}} = \frac{|1 + 4 t|}{\sqrt{5 - 8 t + 8 t^{2}}}$

Xét hàm số $f (x) = \frac{|1 + 4 t|}{\sqrt{5 - 8 t + 8 t^{2}}}$ trên ℝ ta thấy f (x) đạt GTLN là $\sqrt{5}$ khi và chỉ khi t = 1

$\Rightarrow \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 1$ (Thỏa mãn $\sqrt{5} < R$ )

Từ đó a = 2 - 2.1 = 0

Vậy khi đó T = a + b + c = 0 + 2 + 1 = 3.

Câu 43:

Cho hàm số f (x) xác định trên ℝ \ {-1; 1} thỏa mãn

f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}

. Biết f (3) + f (-3) = 4 và

f (\frac{1}{3}) + f (- \frac{1}{3}) = 2

. Giá trị của biểu thức f (-5) + f (0) + f (2) bằng:

A. $5 - \frac{1}{2} \ln 2;$

B. $6 - \frac{1}{2} \ln 2;$

C. $5 + \frac{1}{2} \ln 2;$

D. $6 + \frac{1}{2} \ln 2.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hàm số f (x) xác định trên ℝ \ {-1; 1} Þ D = (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; +¥)

Ta có:

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$

$\Rightarrow f (x) = \int f^{'} (x) d x = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x$

$= \frac{1}{2} \ln |\frac{x - 1}{x + 1}| + C$

+) f (3) + f (-3) = 4

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln |\frac{3 - 1}{3 + 1}| + C_{3} + \frac{1}{2} \ln |\frac{- 3 - 1}{- 3 + 1}| + C_{1} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + C_{3} + \frac{1}{2} \ln 2 + C_{1} = 4$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \ln 2 + C_{3} + \frac{1}{2} \ln 2 + C_{1} = 4$

Û C₃ + C₁ = 4

$f (\frac{1}{3}) + f (- \frac{1}{3}) = 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln |\frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1}| + C_{2} + \frac{1}{2} \ln |\frac{- \frac{1}{3} - 1}{- \frac{1}{3} + 1}| + C_{2} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + C_{2} + \frac{1}{2} \ln 2 + C_{2} = 2$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} \ln 2 + C_{2} + \frac{1}{2} \ln 2 + C_{2} = 2$

Û C₂ + C₂ = 2 Û C₂ = 1

Từ đó giá trị của biểu thức

f (-5) + f (0) + f (2)

$= \frac{1}{2} \ln |\frac{- 5 - 1}{- 5 + 1}| + C_{1} + \frac{1}{2} \ln |\frac{0 - 1}{0 + 1}| + C_{2} + \frac{1}{2} \ln |\frac{2 - 1}{2 + 1}| + C_{3}$

$= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \ln 1 + C_{2} + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{3} + C_{3}$

$= \frac{1}{2} (\ln \frac{3}{2} + \ln \frac{1}{3}) + (C_{1} + C_{3}) + C_{2}$

$= \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + 4 + 1 = \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} + 5 = 5 - \frac{1}{2} \ln 2.$

Câu 44:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f (x³ - 3x² + 3x) = 2x + 2. Khi đó $\int_{1}^{9} x . f' (x) d x$ bằng

A. 68;

B. $\frac{68}{3};$

C.

\frac{136}{3};

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Xét $\int_{1}^{9} x . f' (x) d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = f' (x) d x \Rightarrow v = f (x) \end{matrix}$

Nên ta có $\int_{1}^{9} x . f' (x) d x = {x f (x)|}_{1}^{9} - \int_{1}^{9} f (x) d x$ (1)

+) f (x³ - 3x² + 3x) = 2x + 2

Xét x = 1 Þ f (1) = 2.1 + 2 = 4 (2)

Xét x = 3 Þ f (9) = 2.3 + 2 = 8 (3)

+) $\int_{1}^{3} (3 x^{2} - 6 x + 3) f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) d x = \int_{1}^{3} (3 x^{2} - 6 x + 3) (2 x + 2) d x$

Đặt u = x³ - 3x² + 3x Þ du = (3x² - 6x + 3) dx

Đổi cận:

+ Xét x = 1 Þ u = 1

+ Xét x = 3 Þ u = 9

Nên suy ra

$\int_{1}^{9} f (u) d u = \int_{1}^{3} (6 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x + 6) d x$

$= {(\frac{3 x^{4}}{2} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x)|}_{1}^{3}$

$= \frac{117}{2} - \frac{5}{2} = 56$ (4)

Lần lượt thay (2), (3), (4) vào (1) ta được

$\int_{1}^{9} x . f' (x) d x = {x f (x)|}_{1}^{9} - \int_{1}^{9} f (x) d x$

= 9.8 - 1.4 - 56 = 12.

Câu 45:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm số f '(x) như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

Media VietJack

A. f (0) > f (2) > f (-1);

B. f (0) > f (-1) > f (2);

C. f (2) > f (0) > f (-1);

D. f (-1) > f (0) > f (2).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị f '(x), trục hoành, x = -1, x = 0 là

$S_{1} = \int_{- 1}^{0} |f' (x)| d x = \int_{- 1}^{0} f' (x) d x = {f (x)|}_{- 1}^{0} > 0$

Þ f (0) - f (-1) > 0 Û f (0) > f (-1) (1)

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị f '(x), trục hoành, x = 0, x = 2 bé hơn diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị f '(x), trục hoành, x = -1, x = 0

$\Rightarrow S_{2} = \int_{0}^{2} |f' (x)| d x < \int_{- 1}^{0} |f' (x)| d x = S_{1}$

$\Leftrightarrow - \int_{0}^{2} f' (x) d x < \int_{- 1}^{0} f' (x) d x$

$\Leftrightarrow - {f (x)|}_{0}^{2} < {f (x)|}_{- 1}^{0}$

Û f (0) - f (2) < f (0) - f (-1)

Þ f (2) > f (-1) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra được f (0) > f (2) > f (-1).

Câu 46:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần A; B lần lượt bằng 11; 2. Giá trị của $I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x$ bằng

Media VietJack

A. 3;

B. $\frac{13}{3};$

C. 9;

D. 13.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x$

Đặt u = 3x + 1 Þ du = 3 dx

Đổi cận

+) x = -1 Þ u = -2

+) x = 0 Þ u = 1

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} f (u) d u$

Lại có:

+) $S_{A} = \int_{- 2}^{0} |f (x)| d x = \int_{- 2}^{0} f (x) d x = 11$

+) $S_{B} = \int_{0}^{1} |f (x)| d x = - \int_{0}^{1} f (x) d x = 2$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = - 2$

Vậy suy ra

$I = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} f (u) d u = \frac{1}{3} (\int_{- 2}^{0} f (u) d u + \int_{0}^{1} f (u) d u)$

$= \frac{1}{3} (11 - 2) = 3.$

Câu 47:

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm đa thức bậc ba và parabol (P) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

Media VietJack

A. $\frac{37}{12};$

B. $\frac{7}{12};$

C. $\frac{11}{12};$

D. $\frac{9}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

+) (P) là hàm số có dạng y = ax² + bx + c đi qua các điểm (0; 0), (1; 0), (2; -2) nên ta có hệ phương trình

$\{\begin{matrix} c = 0 \\ a + b + c = 0 \\ 4 a + 2 b + c = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} c = 0 \\ a = - 1 \\ b = 1 \end{matrix}$

Þ y = - x² + x

+) (C) là hàm số có dạng y = ax³ + bx² + cx + d đi qua các điểm (0; 2), (1; 0), (2; -2) , (-1; -2) nên ta có hệ phương trình

$\{\begin{matrix} d = 2 \\ a + b + c + d = 0 \\ 8 a + 4 b + 2 c + d = - 2 \\ - a + b - c + d = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 0 \\ d = 2 \end{matrix}$

Þ y = x³ - 3x² + 2

Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng

$S = \int_{- 1}^{2} |(x^{3} - 3 x^{2} + 2) - (- x^{2} + x)| d x$

$= \int_{- 1}^{2} |x^{3} - 2 x^{2} - x + 2| d x$

$= \int_{- 1}^{0} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) d x - \int_{0}^{2} (x^{3} - 2 x^{2} - x + 2) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x)|}_{- 1}^{0} - {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x)|}_{0}^{2}$

$= \frac{19}{12} - \frac{2}{3} = \frac{11}{12} .$

Câu 48:

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức

w = \frac{1}{|z| - z}

có phần thực bằng

\frac{1}{12}

. Xét các số phức z₁, z₂ Î S thỏa mãn |z₁ - z₂| = 6, giá trị nhỏ nhất của P = |z₁ - 10|² - |z₂ - 10|² bằng

A. -192;

B. -120;

C. -256;

D. -60.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi z = a + bi

Điều kiện |z| - z ¹ 0 Þ b ¹ 0

$\Rightarrow w = \frac{1}{|z| - z} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a - b i}$

$= \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a + b i}{(\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a - b i) (\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a + b i)}$

$= \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a + b i}{{(\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a)}^{2} + b^{2}}$

w có phần thực là $\frac{1}{12}$ nên suy ra

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{{(\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a)}^{2} + b^{2}} = \frac{1}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{a^{2} + b^{2} - 2 a \sqrt{a^{2} + b^{2}} + a^{2} + b^{2}} = \frac{1}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{2 (a^{2} + b^{2}) - 2 a \sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{12}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} (\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a)} = \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{6} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 36$

Xét các số phức z₁, z₂ Î S thỏa mãn |z₁ - z₂| = 6 nên suy ra

Þ (a₁ - a₂)² + (b₁ - b₂)² = 36

$\Leftrightarrow |a_{1} - a_{2}| = \sqrt{36 - {(b_{1} - b_{2})}^{2}}$

Ta có:

P = |z₁ - 10|² - |z₂ - 10|²

= (a₁ - 10)² + b₁² - (a₂ - 10)² - b₂²

= a₁² - a₂² - 20(a₁ - a₂) + b₁² - b₂²

= - 20(a₁ - a₂)

Þ P ³ - 20|a₁ - a₂|

$\Rightarrow P \geq - 20 \sqrt{36 - {(b_{1} - b_{2})}^{2}}$

Để P đạt GTNN thì $\sqrt{36 - {(b_{1} - b_{2})}^{2}}$ đạt GTLN nên suy ra b₁ = b₂

Vậy GTNN của P là $P = - 20 \sqrt{36} = - 120.$

Câu 49:

Số phức z = a + bi, a, b Î ℝ là nghiệm của phương trình $\frac{(|z| - 1) (1 + i z)}{z - \frac{1}{\bar{z}}} = i$

. Tổng T = a² + b² bằng

A. 4;

B. $4 - 2 \sqrt{3};$

C. $3 + 2 \sqrt{2};$

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

ĐKXĐ: $\{\begin{matrix} z - \frac{1}{\bar{z}} \neq 0 \\ \bar{z} \neq 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} z \bar{z} \neq 1 \\ \bar{z} \neq 0 \end{matrix}$

Ta có: $\frac{(|z| - 1) (1 + i z)}{z - \frac{1}{\bar{z}}} = i$

$\Leftrightarrow \frac{(|z| - 1) (1 + i z)}{\frac{z \bar{z} - 1}{\bar{z}}} = i \Leftrightarrow \frac{\frac{z \bar{z} - 1}{\bar{z}}}{|z| - 1} = \frac{1 + i z}{i}$

$\Leftrightarrow \frac{\frac{z \bar{z} - 1}{\bar{z}}}{|z| - 1} = \frac{1}{i} + z = - i + z \Leftrightarrow \frac{z \bar{z} - 1}{|z| - 1} = (- i + z) \bar{z}$

$\Leftrightarrow \frac{z \bar{z} - 1}{|z| - 1} = - \bar{z} + z \bar{z} \Leftrightarrow \frac{{|z|}^{2} - 1}{|z| - 1} = - \bar{z} + {|z|}^{2}$

$\Leftrightarrow |z| + 1 = - \bar{z} + {|z|}^{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} + 1 = - a + b i + a^{2} + b^{2}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} b = 0 \\ |a| + 1 = a^{2} - a \end{matrix}$

+) Xét a ³ 0 Þ a + 1 = a² - a

Û a² - 2a - 1 = 0

$\Rightarrow a = 1 \pm \sqrt{2}$

Đối chiếu điều kiện $\Rightarrow a = 1 + \sqrt{2}$ (thỏa mãn)

+) Xét a £ 0 Þ - a + 1 = a² - a

Û a² = 1 Û a = ± 1

Đối chiếu điều kiện Þ a = -1 (Loại do $z \bar{z} \neq 1$ )

Khi đó, T = a² + b²

^{$= {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 0^{2} = 3 + 2 \sqrt{2} .$}