50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 9

Câu 1:

Nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của số phức z = 2 - i bằng

A. $\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} i;$

B. $\frac{2}{5} - \frac{1}{5} i;$

C. $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} i;$

D. $\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\frac{1}{z} = \frac{1}{2 - i} = \frac{2 + i}{(2 - i) . (2 + i)}$

$= \frac{2 + i}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} i .$

Câu 2:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = π \int_{- 1}^{3} 2^{2 x} d x;$

B. $S = \int_{- 1}^{3} 2^{x} d x;$

C. $S = π \int_{- 1}^{3} 2^{x} d x;$

D. $S = \int_{- 1}^{3} 2^{2 x} d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3

Vậy ta suy ra được

$S = \int_{- 1}^{3} |2^{x}| d x = \int_{- 1}^{3} 2^{x} d x .$

Câu 3:

Số phức z = (2 + 3i) - (5 - i) có phần ảo bằng

A. 4i;

B. 4;

C. 2i;

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

z = (2 + 3i) - (5 - i)

= 2 + 3i - 5 + i

= -3 + 4i

Vậy số phức z có phần ảo là b = 4.

Câu 4:

Cho $\int_{0}^{4} f (x) d x = 10$ và $\int_{4}^{8} f (x) d x = - 6$ . Tính $\int_{0}^{8} f (x) d x .$

A. -4;

B. -16;

C. 16;

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{0}^{8} f (x) d x = \int_{0}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{8} f (x) d x$

= 10 - 6 = 4.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{3} ?$

A. (2; 1; 3);

B. (1; -2; 0);

C. (1; 2; 0);

D. (2; -1; 3).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{3}$ có véc-tơ chỉ phương là (2; -1; 3).

Câu 6:

Cho hai hàm số f (x), g (x) liên tục trên ℝ. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x;$

B. $\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x;$

C. $\int k . f (x) d x = k . \int f (x) d x (k \in ℝ, k \neq 0);$

D. $\int [f (x) . g (x)] d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho hai hàm số f (x), g (x) liên tục trên ℝ. Ta có:

+) $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x;$

+) $\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x;$

+) $\int k . f (x) d x = k . \int f (x) d x (k \in ℝ, k \neq 0) .$

Vậy phương án D sai.

Câu 7:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 + 2sin x.

A. 2x + sin² x + C;

B. 2x - 2cos x + C;

C. x² + sin 2x + C;

D. 2x + 2cos x + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 + 2sin x là

$\int f (x) d x = \int (2 + 2 \sin x) d x$

= 2x - 2cos x + C.

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; - 1; - 2)$ và $\vec{b} = (2; 0; - 1)$ . Tính $\vec{a} . \vec{b}$

A. 2;

B. 0;

C. 1;

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Với hai vectơ $\vec{a} = (1; - 1; - 2)$ và $\vec{b} = (2; 0; - 1)$

Ta suy ra được $\vec{a} . \vec{b} = 1.2 + (- 1) .0 + (- 2) . (- 1) = 4.$

Câu 9:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z = −4 − 5i có tọa độ là

A. (-4; 5);

B. (5; -4);

C. (4; -5);

D. (-4; -5).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z = −4 − 5i có tọa độ là

M(−4; − 5).

Câu 10:

Biết $\int f (x) d x = F (x) + C$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) + F (a);$

B. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a);$

C. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b);$

D. $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) . F (a) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Biết $\int f (x) d x = F (x) + C$

Từ đó ta có

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a) .$

Câu 11:

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(2;0;0), B(0; -3; 0), C(0; 0; 5) là

A. $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 0;$

B. $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{5} + 1 = 0;$

C. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 0;$

D. $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(2;0;0), B(0; -3; 0), C(0; 0; 5) là phương trình mặt phẳng đoạn chắn:

$\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1.$

Câu 12:

Cho hai số phức z₁ = 3 - 7i và z₂ = 2 - 3i. Tìm số phức z = z₁ – z₂.

A. z = 5 - 4i;

B. z = 5 - 10i;

C. z = 1 - 10i;

D. z = 1 - 4i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

z = z₁ – z₂

= (3 - 7i) - (2 - 3i)

= 3 - 7i - 2 + 3i

= 1 - 4i.

Câu 13:

Gọi z₀ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z² + z + 1 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z₀ là

A. $M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2});$

B. $M (- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2});$

C. $M (\frac{1}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2});$

D. $M (- \frac{1}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

z² + z + 1 = 0

$\Leftrightarrow z^{2} + 2. z . \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow {(z + \frac{1}{2})}^{2} = {(\frac{\sqrt{3} . i}{2})}^{2}$

$\Rightarrow [\begin{matrix} z + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} . i}{2} \\ z + \frac{1}{2} = \frac{- \sqrt{3} . i}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} . i}{2} \\ z = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} . i}{2} \end{matrix}$

Mà z₀ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z² + z + 1 = 0

Nên ta có: $z_{0} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} . i}{2}$

Vậy điểm biểu diễn số phức z₀ là $M (- \frac{1}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}) .$

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 2}{1}$ đi qua điểm nào dưới đây?

A. Q(1; 0; -2);

B. P(1; 0; 2);

C. N(2; 3; 1);

D. M(-1; 0; 2).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Lần lượt thay các tọa độ của các điểm Q, P, N, M vào phương trình đường thẳng d ta được điểm Q là điểm thuộc đường thẳng M thỏa mãn

$\frac{x_{Q} - 1}{2} = \frac{y_{Q}}{- 3} = \frac{z_{Q} + 2}{1} = 0.$

Câu 15:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = - 2, x = 1 như hình vẽ dưới. Khẳng định nào sau đây đúng

Media VietJack

A. $S = \int_{- 2}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x;$

B. $S = |\int_{- 2}^{1} f (x) d x|;$

C. $S = \int_{- 2}^{1} f (x) d x;$

D. $S = - \int_{- 2}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$S = \int_{- 2}^{1} |f (x)| d x = \int_{- 2}^{0} |f (x)| d x + \int_{0}^{1} |f (x)| d x$

$= \int_{- 2}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x .$

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D đi qua điểm M (2; 1; −1) và có một vectơ chỉ phương $\vec{a} = (- 1; 0; 3)$ . Phương trình tham số của D là

A. $\{\begin{matrix} x = - 2 - t \\ y = 0 \\ z = 1 + 3 t \end{matrix};$

B. $\{\begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = - 1 + 3 t \end{matrix};$

C. $\{\begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = - 1 + 3 t \end{matrix};$

D. $\{\begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = - 1 + 3 t \end{matrix};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua điểm M (2; 1; −1) và có một vectơ chỉ phương $\vec{a} = (- 1; 0; 3)$ là:
$d : \{\begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = - 1 + 3 t \end{matrix} .$

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): x - 2y + z - 3 = 0 có tọa độ là

A. (1; -2; 1);

B. (1; 1; -3);

C. (-2; 1; -3);

D. (1; -2; -3).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): x - 2y + z - 3 = 0 có tọa độ là (1; -2; 1).

Câu 18:

Tìm phần thực của số phức z biết (2 + i)z = 1 - 3i.

A. $\frac{1}{5};$

B. $- \frac{1}{5};$

C. $- \frac{7}{5};$

D. -1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đặt z = a + bi

Ta có:

(2 + i)z = 1 - 3i

Û (2 + i)(a + bi) = 1 - 3i

Û (2a - b) + (a + 2b)i = 1 - 3i

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 2 a - b = 1 \\ a + 2 b = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{- 1}{5} \\ b = \frac{- 7}{5} \end{matrix}$

Vậy phần thực của số phức z là $a = - \frac{1}{5} .$

Câu 19:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 3 - x², y = 0, x = -2, x = 0. Gọi V là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $V = π \int_{- 2}^{0} (3 - x^{2}) d x;$

B. $V = π \int_{- 2}^{0} (3 - x^{2}) d x;$

C. $V = π \int_{- 2}^{0} {(3 - x^{2})}^{2} d x;$

D. $V = \int_{- 2}^{0} {|3 - x^{2}|}^{2} d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay ta có

$V = π \int_{- 2}^{0} {(3 - x^{2})}^{2} d x .$

Câu 20:

Số phức liên hợp của số phức z = -2 - 5i là

A. $\bar{z} = - 2 + 5 i;$

B. $\bar{z} = 2 - 5 i;$

C. $\bar{z} = - 5 - 2 i;$

D. $\bar{z} = 2 + 5 i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số phức liên hợp của số phức z = -2 - 5i là

$\bar{z} = - 2 + 5 i .$

Câu 21:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

A. $- \frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + C;$

B. $\ln |1 - 2 x| + C;$

C. $\frac{1}{2} \ln (1 - 2 x) + C;$

D. $- \frac{1}{2} \ln (1 - 2 x) + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}$ là

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{1 - 2 x} d x = \frac{- 1}{2} . \int \frac{- 2}{1 - 2 x} d x$

$= \frac{- 1}{2} . \ln |1 - 2 x| + C = - \frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + C$ trên khoảng $(\frac{1}{2}; + \infty) .$

Câu 22:

Biết $\int_{2}^{e} \frac{1}{x} d x = a + b \ln c, a, b, c \in ℤ$ . Tính S = a - b + c.

A. 3;

B. 1;

C. 4;

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int_{2}^{e} \frac{1}{x} d x = l {n |x||}_{2}^{e} = 1 - \ln 2$

Mà $\int_{2}^{e} \frac{1}{x} d x = a + b \ln c, a, b, c \in ℤ$ nên suy ra a =1, b = -1, c = 2

Vậy S = a - b + c = 1 + 1 + 2 = 4.

Câu 23:

Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng (a): 2x - 2y + z - 4 = 0 và (β): 4x - 4y + 2z - 3 = 0 bằng

A. $\frac{1}{6};$

B. $\frac{5}{3};$

C. $\frac{5}{6};$

D. $\frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hai mặt phẳng (a): 2x - 2y + z - 4 = 0 và (β): 4x - 4y + 2z - 3 = 0 có hai véc-tơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{(α)}} = (2; - 2; 1)$ và $\vec{n_{(β)}} = (4; - 4; 2)$

Ta nhận thấy rằng hai mặt phẳng trên song song với nhau

Lấy điểm M(0; 0; 4) thuộc mặt phẳng (a)

Vậy suy ra

$d_{((α), (β))} = d_{(M, (β))} = \frac{|4.0 - 4.0 + 2.4 - 3|}{\sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{6} .$

Câu 24:

Gọi x, y là các số thực thỏa mãn (1 - 3i)x - 2y + (1 + 2y)i = -3 + 6i. Tính 2x - y.

A. -1;

B. 1;

C. 3;

D. -3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

(1 - 3i)x - 2y + (1 + 2y)i = -3 + 6i

Û (x - 2y) + (1 + 2y - 3x)i = -3 + 6i

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x - 2 y = - 3 \\ 1 + 2 y - 3 x = 6 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x - 2 y = - 3 \\ 2 y - 3 x = 5 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 1 \end{matrix}$

Vậy 2x - y = 2.(-1) - 1 = -3.

Câu 25:

Tìm một nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2^{x} - x - \frac{1}{x} .

A. $\frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{1}{2} x^{2} + \ln |x| + C;$

B. $\frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + C;$

C. $\frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln |x| + C;$

D. $\frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$f (x) = 2^{x} - x - \frac{1}{x}$

$\Rightarrow \int f (x) d x = \int (2^{x} - x - \frac{1}{x}) d x$

$= \frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln |x| + C .$

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0 có phương trình là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{3};$

B. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3};$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{3};$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 3}{1} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận véc-tơ pháp tuyến của (P) làm véc-tơ chỉ phương

Ta có:

$\vec{u_{d}} = \vec{n_{(P)}} = (1; - 2; 3)$

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 1) và có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u_{d}} = \vec{n_{(P)}} = (1; - 2; 3)$ có phương trình

$d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{3} .$

Câu 27:

Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² - 2z +7 = 0. Tính P = |z₁|² + |z₂|².

A. 4;

B. 2;

C. 14;

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

z² - 2z +7 = 0

Nên theo Viét ta có

$\{\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - \frac{- 2}{1} = 2 \\ z_{1} . z_{2} = 7 \end{matrix}$

Ta có:

$|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{|z_{1} . z_{2}|} = \sqrt{7}$

Từ đó: P = |z₁|² + |z₂|²

= 7 + 7 = 14.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 3; 3), C(0; −3; 1). Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

A. (-2; 3; -7);

B. (2; 2; 7);

C. (2; -2; -7);

D. (2; -2; 7).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+) $\vec{A B} = (- 2; 5; 2)$

+) $\vec{A C} = (1; - 6; - 2)$

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

Do $\vec{n} ⊥ \vec{A B}, \vec{n} ⊥ \vec{A C}$ nên suy ra

$\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$

$= (|\begin{matrix} 5 & 2 \\ - 6 & - 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 5 \\ 1 & - 6 \end{matrix}|)$

= (2; -2; 7).

Câu 29:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên ℝ, f (-1) = -2, f (0) = 3. Tính

\int_{- 1}^{0} f^{'} (x) d x .

A. -5;

B. 1;

C. 5;

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int_{- 1}^{0} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{- 1}^{0} = f (0) - f (- 1)$

= 3 + 2 = 5.

Câu 30:

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z = 3 - i?

Media VietJack

A. N;

B. Q;

C. P;

D. M.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z = 3 - i tức là điểm biểu diễn của $\bar{z} = 3 + i$ là

Q(3; 1).

Câu 31:

Tìm số phức z thỏa mãn

(2 + i) z - i + 3 = \frac{1 + 3 i}{2 - i} .

A. $- \frac{8}{5} + \frac{11}{5} i;$

B. $- \frac{4}{5} + \frac{8}{5} i;$

C. $\frac{8}{5} + \frac{2}{5} i;$

D. $\frac{4}{5} + \frac{8}{5} i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$(2 + i) z - i + 3 = \frac{1 + 3 i}{2 - i}$

$\Leftrightarrow (2 + i) z - i + 3 = \frac{(1 + 3 i) . (2 + i)}{(2 - i) . (2 + i)}$

$\Leftrightarrow (2 + i) z - i + 3 = \frac{- 1 + 7 i}{5}$

$\Leftrightarrow (2 + i) z = \frac{- 16 + 12 i}{5}$

$\Leftrightarrow z = \frac{4 - 8 i}{5 (2 + i)} = \frac{(- 16 + 12 i) . (2 - i)}{5 (2 + i) . (2 - i)}$

$= \frac{40 i - 20}{25} = - \frac{4}{5} + \frac{8}{5} i .$

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 2)² + z² = 9 có tâm I, bán kính R lần lượt là

A. I(-1; 2; 0), R = 9;

B. I(1; -2; 0), R = 3;

C. I(-1; 2; 0), R = 3;

D. I(1; -2; 0), R = 9.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 2)² + z² = 9 có tâm I, bán kính R lần lượt là

I(1; -2; 0), R = 3.

Câu 33:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

A. $S = \frac{1}{2};$

B. $S = \frac{1}{6};$

C. $S = \frac{5}{2};$

D. $S = \frac{6}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x là nghiệm của phương trình

2x - x² = 2 - x

Û x.(2 - x) = 2 - x

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 2 - x = 0 \\ x = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 2 \\ x = 1 \end{matrix}$

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

$S = \int_{1}^{2} |(2 x - x^{2}) - (2 - x)| d x$

$= \int_{1}^{2} |3 x - x^{2} - 2| d x = \int_{1}^{2} (3 x - x^{2} - 2) d x$

${= (\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x)|}_{1}^{2}$

$= (\frac{{3.2}^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{3} - 2.2) - (\frac{{3.1}^{2}}{2} - \frac{1^{3}}{3} - 2.1)$

$= - \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} .$

Câu 34:

Cho số phức z có phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 5. Modul của số phức 2 - iz là

A. $\sqrt{58};$

B. 58;

C. $\sqrt{34};$

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có số phức z có phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 5

Nên suy ra z = -3 + 5i

+) 2 - iz = 2 - i.(-3 + 5i)

= 2 + 3i + 5 = 7 + 3i

Modul của số phức 2 - iz là

$\sqrt{7^{2} + 3^{2}} = \sqrt{58} .$

Câu 35:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x} - 2$ , trục hoành và đường thẳng x = 9. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

A. $V = \frac{11}{6};$

B. $V = \frac{5 π}{6};$

C. $V = \frac{7 π}{11};$

D. $V = \frac{11 π}{6} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = \sqrt{x} - 2$ và trục hoành là nghiệm của phương trình

$\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow x = 4$

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là

$V = π \int_{4}^{9} {(\sqrt{x} - 2)}^{2} d x = π \int_{4}^{9} (x - 4 \sqrt{x} + 4) d x$

$= π {(\frac{x^{2}}{2} - \frac{8}{3} \sqrt{x^{3}} + 4 x)|}_{4}^{9}$

$= π . [(\frac{9^{2}}{2} - \frac{8}{3} \sqrt{9^{3}} + 4.9) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{8}{3} \sqrt{4^{3}} + 4.4)]$

$= π . (\frac{9}{2} - \frac{8}{3}) = \frac{11 π}{6} .$

Câu 36:

Cho số phức z thỏa mãn |z - 2 + i| = |z + 2i|. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 4x + 2y - 1 = 0;

B. 2x + 2y - 1 = 0;

C. 4x - 2y + 1 = 0;

D. - 4x - 2y = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta đặt z = a + bi

Nên suy ra |z - 2 + i| = |z + 2i|

Û |a + bi - 2 + i| = |a + bi + 2i|

$\Rightarrow \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b + 1)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(b + 2)}^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} - 4 a + 4 + b^{2} + 2 b + 1} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4 b + 4}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} - 4 a + 5 + b^{2} + 2 b} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4 b + 4}$

Bình phương 2 vế của phương tình trên suy ra

a² - 4a + 5 + b² + 2b = a² + b² + 4b + 4

Û 4a + 2b - 1 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 4x + 2y - 1 = 0

Câu 37:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| - 3 \bar{z} = 1 - 15 i - 2 z$ . Tính môđun của số phức $ω = 1 - z - z^{2}$ .

A. $|ω| = \sqrt{521};$

B. $|ω| = \sqrt{829};$

C. $|ω| = \sqrt{541};$

D. $|ω| = \sqrt{445} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi số phức z = a + bi $\Rightarrow \bar{z} = a - b i$

Ta có: $|z| - 3 \bar{z} = 1 - 15 i - 2 z$

Û |z| = 3.(a - bi) + 1 - 15i - 2.(a + bi)

= 3a - 3bi + 1 - 15i - 2a - 2bi

= (a + 1) - 5(b + 3).i

Mà Môđun của z luôn là một số thực nên phần ảo - 5(b + 3) = 0

Suy ra b = -3

Vậy $|z| = \sqrt{a^{2} + {(- 3)}^{2}} = a + 1$

Þ a² + 9 = a² + 2a + 1

Û 2a = 8

Û a = 4

Vậy suy ra z = 4 - 3i

Từ đó

= 1 - (4 - 3i) - (4 - 3i)²

= 1 - 4 + 3i - 16 + 24i + 9

= - 10 + 27i

$\Rightarrow |ω| = \sqrt{{(- 10)}^{2} + 27^{2}} = \sqrt{829} .$

Câu 38:

Biết 1 - 2i là một nghiệm của phương trình z² + az + b = 0, a, b Î ℝ. Tính a - b.

A. 7;

B. 3;

C. -3;

D. -7.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

1 - 2i là một nghiệm của phương trình z² + az + b = 0 nên suy ra

(1 - 2i)² + a.(1 - 2i) + b = 0

Û 1 - 4i - 4 + a - 2ai + b = 0

Û (a + b - 3) - (2a + 4)i = 0

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a + b - 3 = 0 \\ - (2 a + 4) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = 3 - a = 5 \\ a = - 2 \end{matrix}$

Vậy a - b = -2 - 5 = -7.

Câu 39:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sqrt{x}$ ; y = x - 2 và trục hoành.

A. $\frac{11}{3};$

B. $\frac{7}{3};$

C. $\frac{10}{3};$

D. $\frac{8}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Dựa vào hình vẽ

Đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 0

Đồ thị hàm số y = x - 2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 2

Đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ cắt y = x - 2 tại điểm có hoành độ là x = 4

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sqrt{x}$ ; y = x - 2 và trục hoành là

$S = \int_{0}^{2} |\sqrt{x}| d x + \int_{2}^{4} |\sqrt{x} - (x - 2)| d x$

$= \int_{0}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{2}^{4} [\sqrt{x} - (x - 2)] d x$

$= {\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}|}_{0}^{2} + {(\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x)|}_{2}^{4}$

$= \frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{16}{3} - 8 + 8 - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 2 - 4 = \frac{10}{3} .$

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{t} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$ và điểm

A(1; -2; 0). Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 5 = 0.

A. R = 3;

B. R = 4;

C. R = 1;

D. R = 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 1 + t \end{matrix}$

Mặt cầu có tâm I nằm trên d , đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 5 = 0 nên ta có

$I A = d (I, (P)) = R$

$\Rightarrow \sqrt{{(1 + t - 1)}^{2} + {(- 2 - 2 t + 2)}^{2} + {(1 + t)}^{2}} = \frac{|2. (1 + t) - 2 (- 2 - 2 t) + (1 + t) - 5|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{6 t^{2} + 2 t + 1} = \frac{|7 t + 2|}{3}$

Û 5t² - 10t + 5 = 0

Û t² - 2t + 1 = 0

Û (t - 1)² = 0

Þ t = 1

Vậy bán kính $R = \sqrt{{6.1}^{2} + 2.1 + 1} = 3.$

Câu 41:

Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 - x}$ trên (-¥; 2) và F (2 - e) = 1. Tìm F (x).

A. F (x) = - ln (x - 2) + 2;

B. F (x) = - ln |2 - x| + 1;

C. F (x) = - ln (2 - x) + 2;

D. F (x) = - ln (x - 2) - 2;

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$F (x) = \int f (x) d x = \int \frac{1}{2 - x} d x$

$= - \ln |2 - x| + C = - \ln (2 - x) + C$

Mà F (2 - e) = C - 1 = 1 Þ C = 2

Vậy suy ra F (x) = - ln (2 - x) + 2.

Câu 42:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{1}^{3} f (3 - 2 x) d x = - 6$ . Tính $I = \int_{- 3}^{0} f (x) d x .$

A. I = -14;

B. I = -10;

C. I = 14;

D. I = 10.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{1}^{3} f (3 - 2 x) d x = - 6$

Đặt u = 3 - 2x Þ du = -2 dx

Đổi cận

+) x = 1 Þ u = 1

+) x = 3 Þ u = -3

$\Rightarrow \int_{1}^{3} f (3 - 2 x) d x = - \frac{1}{2} \int_{1}^{- 3} f (u) d u$

$= \frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} f (u) d u = - 6$

$\Rightarrow \int_{- 3}^{1} f (x) d x = - 12$

Vậy suy ra

$I = \int_{- 3}^{0} f (x) d x = \int_{- 3}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x$

= -12 - 2 = -14.

Câu 43:

Cho $F (x) = \frac{1}{2 x^{2}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f (x)}{x}$ . Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) \ln x .$

A. $\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}} + C;$

B. $\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + C;$

C. $- (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}}) + C;$

D. $- (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$F (x) = \int \frac{f (x)}{x} d x$

$\Rightarrow F^{'} (x) = \frac{f (x)}{x}$

${(\frac{1}{2 x^{2}})}^{'} = \frac{- 1}{x^{3}} = \frac{f (x)}{x}$

$\Rightarrow f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}$

Họ nguyên hàm của hàm số $f^{'} (x) \ln x$ là

$\int f^{'} (x) \ln x d x$

Đặt: $\{\begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x \\ d v = f^{'} (x) d x \Rightarrow v = f (x) \end{matrix}$

Vậy suy ra

$\int f^{'} (x) \ln x d x$

$= f (x) . \ln x - \int \frac{f (x)}{x} d x$

$= \frac{- 1}{x^{2}} . \ln x + \int \frac{1}{x^{3}} d x$

$= - (\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{2}}) + C .$

Câu 44:

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; -2; -2), cắt trục Oy, và song song với mặt phẳng (P): 2x + y - 4z + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

A. $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 2 - 10 t \\ z = - 2 + 2 t \end{matrix};$

B. $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 2 + 10 t \\ z = - 2 + 2 t \end{matrix};$

C. $\{\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + 10 t \\ z = - 2 + 2 t \end{matrix};$

D. $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 2 + 6 t \\ z = - 2 - 2 t \end{matrix} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\vec{n_{(P)}} = (2; 1; - 4)$

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên suy ra véc-tơ chỉ phương của d vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng d

Với các phương án A, B, C, D ta có các véc-tơ chỉ phương lần lượt là:

$\vec{u_{1}} = (1; - 10; 2), \vec{u_{2}} = (1; 10; 2), \vec{u_{3}} = (- 1; 10; 2), \vec{u_{4}} = (1; 6; - 2)$

Với 4 véc-tơ trên, véc-tơ vuông góc với $\vec{n_{(P)}} = (2; 1; - 4)$ là $\vec{u_{3}} = (- 1; 10; 2)$

Vì $\vec{n_{(P)}} . \vec{u_{3}} = 2. (- 1) + 1.10 + (- 4) .2 = 0$

Vậy phương trình đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u_{3}} = (- 1; 10; 2)$ và đi qua điểm A(1; -2; -2) là

$d : \{\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + 10 t \\ z = - 2 + 2 t \end{matrix} .$

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 4y + 2z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa trục Oz cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 6p.

A. 2y + z = 0;

B. 2x + y = 0;

C. 2x - y = 0;

D. 2x + y + z = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

(S): x² + y² + z² + 2x - 4y + 2z - 3 = 0

Û (x² + 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + (z² + 2z +1) = 9

Û (x + 1)² + (y - 2)² + (z + 1)² = 9

Vậy mặt cầu (S) có tâm là điểm I(-1; 2; -1) và R = 3

Phương trình mặt phẳng (a) chứa trục Oz cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính là HM

Nên suy ra C = 2p.HM = 6p Þ HM = 3 = R

Vậy mặt phẳng đã cho đi qua tâm I của mặt cầu

Phương trình mặt phẳng (a) chứa trục Oz nên véc-tơ pháp tuyến của (a) là $\vec{n} = (a; b; c)$ vuông góc với véc-tơ chỉ phương của Oz là (0; 0; 1)

Þ a.0 + b.0 + c.1 = 0

Þ c = 0

$\Rightarrow \vec{n} = (a; b; 0)$

Vậy phương trình mặt phẳng (a) đi qua I và có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b; 0)$ là

a.(x + 1) + b.(y -2) = 0

Û ax + by + (a - 2b) = 0 (1)

Do phương trình mặt phẳng (a) đi qua Oz nên đi qua điểm O

Vậy từ (1) ta có a - 2b = 0 Û a = 2b

Thay a = 2b vào (1) nên suy ra (1) trở thành

2bx + by = 0

Û 2x + y = 0.

Câu 46:

Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (1) = 2 và $2 f (x) = - x f' (x) + 3 x, \forall x \in ℝ \ \{0\}$ . Tính f (2).

A. 2

B. $\frac{9}{2};$

C. 9

D. $\frac{9}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$2 f (x) = - x f' (x) + 3 x$

Nhân 2 vế của phương trình trên với x ta được

$2 x . f (x) = - x^{2} . f' (x) + 3 x^{2}$

$\Leftrightarrow 2 x . f (x) + x^{2} . f' (x) = 3 x^{2}$

Ta nhận thấy vế trái của phương trình là một đạo hàm tích A.B với A = x², B = f (x)

Lấy nguyên hàm 2 vế nên suy ra

$\Rightarrow \int (2 x . f (x) + x^{2} . f' (x)) d x = \int 3 x^{2} d x$

Û x².f (x) = x³ + C (1)

Với f (1) = 2 nên phương trình 1 trở thành

2 = 1 + C Û C = 1

Vậy ta có x².f (x) = x³ + 1

$\Leftrightarrow f (x) = x + \frac{1}{x^{2}}$

$\Rightarrow f (2) = 2 + \frac{1}{2^{2}} = \frac{9}{4} .$

Câu 47:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -1; 2) và hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \end{matrix}, d_{2} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$ . Đường thẳng D đi qua M và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ có véc tơ chỉ phương là $\vec{u_{Δ}} (1; a; b)$ . Tính a + b.

A. a + b = 1;

B. a + b = -2;

C. a + b = 2;

D. a + b = -1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta viết được phương trình tham số của D đi qua M (1; -1; 2) và có véc tơ chỉ phương $\vec{u_{Δ}} (1; a; b)$ là

$Δ : \{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 + a t \\ z = 2 + b t \end{matrix}$

Và phương trình tham số của d₁, d₂ lần lượt là

$d_{1} : \{\begin{matrix} x = t_{1} \\ y = 1 - t_{1} \\ z = - 1 \end{matrix}, d_{2} : \{\begin{matrix} x = - 1 + 2 t_{2} \\ y = 1 + t_{2} \\ z = - 2 + t_{2} \end{matrix}$

Gọi A(1 + t₃; -1 + at₃; 2 + bt₃) và B(1 + t₄; -1 + at₄; 2 + bt₄) thuộc D

Vậy để đường thẳng D cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ thì tồn tại 2 điểm A, B thuộc d₁, d₂

Từ đó ta có

+) D cắt d₁

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 1 + t_{3} = t_{1} \\ - 1 + a t_{3} = 1 - t_{1} \\ 2 + b t_{3} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{3} = t_{1} - 1 \\ - 1 + a t_{3} = - t_{3} \\ 2 + b t_{3} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{3} = t_{1} - 1 \\ a t_{3} = 1 - t_{3} \\ b t_{3} = - 3 \end{matrix}$ (1)

+) D cắt d₂

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 1 + t_{4} = - 1 + 2 t_{2} \\ - 1 + a t_{4} = 1 + t_{2} \\ 2 + b t_{4} = - 2 + t_{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{2} = 1 + \frac{t_{4}}{2} \\ - 1 + a t_{4} = 2 + \frac{t_{4}}{2} \\ 2 + b t_{4} = - 1 + \frac{t_{4}}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{2} = 1 + \frac{t_{4}}{2} \\ a t_{4} = 3 + \frac{t_{4}}{2} \\ b t_{4} = - 3 + \frac{t_{4}}{2} \end{matrix}$

Từ (1) và (2) suy ra

$\{\begin{matrix} \frac{1}{t_{3}} - 1 = \frac{3}{t_{4}} + \frac{1}{2} \\ \frac{- 3}{t_{3}} = \frac{- 3}{t_{4}} + \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{1}{t_{3}} - \frac{3}{t_{4}} = \frac{3}{2} \\ \frac{- 3}{t_{3}} + \frac{3}{t_{4}} = \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{1}{t_{3}} = - 1 \\ \frac{1}{t_{4}} = - \frac{5}{6} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t_{3} = - 1 \\ t_{4} = - \frac{6}{5} \end{matrix}$

Với t₃ = -1 nên suy ra a = -2, b = 3

Þ a + b = 1.

Câu 48:

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn

f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x,

với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x .

A. $- \frac{π}{4};$

B. $\frac{1}{4};$

C. $\frac{π}{4};$

D. $- \frac{1}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

+) Thay x = 0 vào phương trình $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x$ ta có

$f (0) + f (\frac{π}{2}) = 0 \Rightarrow f (\frac{π}{2}) = 0$

$f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \sin x . \cos x$

$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (\frac{π}{2} - x)] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2. \sin x . \cos x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x$

Đặt: $u = \frac{π}{2} - x \Rightarrow d u = - d x$

Đổi cận

+) $x = 0 \Rightarrow u = \frac{π}{2}$

+) $x = \frac{π}{2} \Rightarrow u = 0$

Phương trình (1) trở thành

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x - \int_{\frac{π}{2}}^{0} f (u) d u = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (u) d u = - \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \sin 2 x d x$

$\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = {- \frac{1}{4} \cos 2 x|}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = {- \frac{1}{8} \cos 2 x|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = f' (x) d x \Rightarrow v = f (x) \end{matrix}$

Vậy suy ra

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x . f' (x) d x = {x . f (x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

$= \frac{π}{2} . f (\frac{π}{2}) - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4} .$

Câu 49:

Cho số phức z thõa mãn |z - 1 + i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z + 2 - i|² + |z - 2 - 3i|².

A. $38 + 8 \sqrt{10};$

B. $38 + 10 \sqrt{10};$

C. $38 + 6 \sqrt{10};$

D.

38 + 4 \sqrt{10} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt z = a + bi với M(a; b) là điểm biểu diễn của z

+) |z - 1 + i| = 2

$\Leftrightarrow \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}} = 2$

Þ MI = 2 với I(1; -1)

Tương tự ta xét P = |z + 2 - i|² + |z - 2 - 3i|²

= MA² + MB² với A(-2; 1) và B(2; 3)

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của P với M là điểm thỏa mãn MI = 2

Nên suy ra M thuộc đường tròn tâm I bán kính R = 2

Û (a - 1)² + (b + 1)² = 4

Û a² - 2a + b² + 2b - 2 = 0

Vậy

= (a + 2)² + (b - 1)² + (a - 2)² + (b - 3)²

= 2a² + 2b² - 8b + 18

= 2a² + (2b² - 8b + 8) + 10

= 2a² + 2(b - 2)² + 10

= 2MH² + 10

Vậy M là điểm thuộc đường tròn tâm I bán kính bằng 2 sao cho 2MH² + 10 đạt GTLN hay MH lớn nhất với H(0; 2)

Từ đó M là giao của đường tròn và đường thẳng HI và M xa AB nhất

$\Rightarrow M H = M I + I H = 2 + \sqrt{10}$

Vậy suy ra $P_{\max} = 2 M H^{2} + 10$

$= 2. {(2 + \sqrt{10})}^{2} + 10 = 38 + 8 \sqrt{10} .$

Câu 50:

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; -2; 4), B(-3; 3; -1), C(−1; −1; −1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 8 = 0. Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2MA² + MB² - MC².

A. 102;

B. 35;

C. 105;

D. 30.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi I là điểm thỏa mãn: $2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 (\vec{O A} - \vec{O I}) + (\vec{O B} - \vec{O I}) - (\vec{O C} - \vec{O I}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{O I} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C} = (1; 0; 4)$

Suy ra I(1; 0; 4)

Khi đó, với mọi điểm M(x; y; z) Î (P), ta luôn có

$T = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}$

$= 2 {\vec{M I}}^{2} + 2 \vec{M I} . (2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) + 2 {\vec{I A}}^{2} + {\vec{I B}}^{2} - {\vec{I C}}^{2}$

= 2MI² + (2IA² + IB² - IC2) = 2MI² + 30

Do đó, T đạt GTNN ⇔ MI đạt GTNN ⇔ MI ^ (P)

Ta có:

$I M = d_{(I, (P))} = \frac{|2.1 - 0 + 2.4 + 8|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 6$

Vậy T_min = 2.6² + 30 = 102.