50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 2

Câu 1:

Góc tạo bởi đường thẳng $(d) : \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 3}{4}$ và mặt phẳng (P): 3x - 2y = 0 là

A. 30°;

B. 90°;

C. 45°;

D. 0°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$\vec{u_{d}} = (2; 3; 4)$ và $\vec{n_{P}} = (3; - 2; 0)$

Vậy suy ra góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là góc a, được tính theo công thức

$\sin α = \frac{|\vec{u_{d}} . \vec{u_{P}}|}{|\vec{u_{d}}| . |\vec{u_{P}}|} = \frac{|2.3 + 3. (- 2) + 4.0|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 4^{2}} . \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} + 0^{2}}}$

$= \frac{|0|}{5 \sqrt{29}} = 0$

Þ a = arcsin (0) = 0°.

Câu 2:

Nguyên hàm của hàm số $y = f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ là:

A. $\int f (x) d x = \cos (\frac{π}{2} - x) + C;$

B. $\int f (x) d x = - \cos (\frac{π}{2} + x) + C;$

C. $\int f (x) d x = \cos (x) + C;$

D. $\int f (x) d x = - \cos (\frac{π}{2} - x) + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Nguyên hàm của hàm số $y = f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ là:

$\int f (x) d x = \int \sin (\frac{π}{2} - x) d x$

$= - \int - \sin (\frac{π}{2} - x) d x = \cos (\frac{π}{2} - x) + C .$

Câu 3:

Nếu

\int_{2}^{3} f (x) d x = 5

thì giá trị của

I = \int_{2}^{3} 2 f (x) d x

bằng

A. $\frac{5}{2};$

B. 7;

C. 4;

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$I = \int_{2}^{3} 2 f (x) d x = 2 \int_{2}^{3} f (x) d x = 2.5 = 10.$

Câu 4:

Cho hàm số f (x) biết $\int_{0}^{9} f (x) d x = 9$ . Tích phân $\int_{0}^{3} f (3 x) d x$ bằng

A. 1;

B. -3;

C. 3;

D. 27.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt u = 3x Þ du = 3 dx $\Rightarrow d x = \frac{1}{3} d u$

Đổi cận:

+) x = 0 Þ u = 0

+) x = 3 Þ u = 9

Khi đó:

$\int_{0}^{3} f (3 x) d x = \int_{0}^{9} \frac{1}{3} f (u) d u = \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (u) d u$

$= \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (x) d x = \frac{1}{3} .9 = 3.$

Câu 5:

Cho số phức z = 1 + 2i. Môđun số phức $\frac{z}{\bar{z}} + \frac{\bar{z}}{z}$ bằng

A. $\sqrt{5};$

B. $\frac{6}{5};$

C. $2 \sqrt{5};$

D. $- \frac{6}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có số phức z = 1 + 2i nên suy ra $\bar{z} = 1 - 2 i$

Xét các biểu thức:

+) $z + \bar{z} = (1 + 2 i) + (1 - 2 i) = 2$

+) $z . \bar{z} = {|z|}^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 5$

Ta có xét số phức

$w = \frac{z}{\bar{z}} + \frac{\bar{z}}{z} = \frac{z^{2} + {\bar{z}}^{2}}{z . \bar{z}} = \frac{{(z + \bar{z})}^{2} - 2 z . \bar{z}}{z . \bar{z}}$

$= \frac{2^{2} - 2.5}{5} = - \frac{6}{5}$

Vậy Mô đun của số phức w là

$|w| = |- \frac{6}{5}| = \frac{6}{5} .$

Câu 6:

Cho z = 1 + 2i; w = 8 - 6i. Tính

ω = \frac{z}{w}

A. $\frac{1}{25} - \frac{1}{50} i;$

B. $\frac{2}{5} - \frac{11}{5} i;$

C. $- \frac{1}{25} + \frac{11}{50} i;$

D. $- \frac{2}{5} + \frac{11}{5} i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$ω = \frac{z}{w} = \frac{1 + 2 i}{8 - 6 i} = \frac{(1 + 2 i) (8 + 6 i)}{(8 - 6 i) (8 + 6 i)}$

$= \frac{8 + 16 i + 6 i + 12 i^{2}}{8^{2} + 6^{2}} = \frac{8 + 16 i + 6 i - 12}{8^{2} + 6^{2}}$

$= \frac{- 4 + 22 i}{100} = \frac{- 1}{25} + \frac{11}{50} i .$

Câu 7:

$\int \sin x d x$ bằng

A. cos x + C;

B. sin x + C;

C. - sin x + C;

D. - cos x + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int \sin x d x = - \int \sin x d x = - \cos x + C .$

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua điểm M(3; -1; 1) có véc tơ pháp tuyến $\vec{a} = (- 1; 3; - 2)$ là

A. 3x - y + z - 8 = 0;

B. 3x - y + z - 4 = 0;

C. x - 3y + 2z - 4 = 0;

D. -x + 3y - 2z + 8 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng qua điểm M(3; -1; 1) có véc tơ pháp tuyến $\vec{a} = (- 1; 3; - 2)$ là

-1.(x - 3) + 3(y + 1) - 2(z - 1) = 0

Û -x + 3 + 3y + 3 - 2z + 2 = 0

Û -x + 3y - 2z + 8 = 0.

Câu 9:

Biết $\int_{1}^{3} f (x) d x = 3; \int_{5}^{1} f (x) d x = - 1$ . Giá trị của $I = \int_{3}^{5} f (x) d x$ là

A. I = -4;

B. I = 2;

C. I = 4;

D. I = -2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$I = \int_{3}^{5} f (x) d x = \int_{1}^{5} f (x) d x - \int_{1}^{3} f (x) d x$

$= - \int_{5}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{3} f (x) d x = - (- 1) - 3 = - 2.$

Câu 10:

Số phức z = 3a + 4bi với a; b là các số thực khác 0. Số phức z^-¹ có phần ảo là

A. $\frac{4 b}{9 a^{2} + 16 b^{2}};$

B. $\frac{- 4 b}{9 a^{2} + 16 b^{2}};$

C. $\frac{- 3 a}{9 a^{2} + 16 b^{2}};$

D. $\frac{3 a}{9 a^{2} + 16 b^{2}} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

z = 3a + 4bi nên suy ra

$z^{- 1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{3 a + 4 b i} = \frac{3 a - 4 b i}{(3 a + 4 b i) (3 a - 4 b i)}$

$= \frac{3 a - 4 b i}{9 a^{2} + 16 b^{2}} = \frac{3 a}{9 a^{2} + 16 b^{2}} - \frac{4 b}{9 a^{2} + 16 b^{2}} i$

Vậy phần ảo của số phức z^-¹ là $\frac{- 4 b}{9 a^{2} + 16 b^{2}} .$

Câu 11:

Cho z₁ = 2 + 3i; z₂ = -1 + 5i. Số phức z₁ - z₂ là

A. 1 - 8i;

B. 1 + 8i;

C. 3 - 2i;

D. 3 + 2i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số phức z₁ - z₂ là

z₁ - z₂ = (2 + 3i) - (-1 + 5i)

= 2 + 3i + 1 - 5i = 3 - 2i.

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; -1; 0) và vuông góc với đường thẳng

(d) : \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{- 2}

là

A. x - 2y + z + 1 = 0;

B. x + 2y - 2z - 1 = 0;

C. x + 2y - 2z + 1 = 0;

D. x - 2y + z - 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$(d) : \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{- 2}$ có véc-tơ chỉ phương là $\vec{u_{d}} = (1; 2; - 2)$

Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận véc-tơ chỉ phương của (d) là $\vec{u_{d}} = (1; 2; - 2)$ làm véc-tơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -1; 0) và có $\vec{n_{P}} = (1; 2; - 2)$ làm véc-tơ pháp tuyến là

(P): (x - 1) + 2(y + 1) - 2z = 0

Û x + 2y - 2z + 1 = 0.

Câu 13:

Cho số phức z thỏa mãn $i z = {(2 \sqrt{3} + i)}^{2} (1 - \sqrt{2} i)$ . Phần thực của z là

A. $11 + 4 \sqrt{6};$

B. $- 11 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3};$

C. $- 11 - 4 \sqrt{6};$

D. $11 \sqrt{2} - 4 \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$i z = {(2 \sqrt{3} + i)}^{2} (1 - \sqrt{2} i)$

$\Leftrightarrow i z = (12 + 4 \sqrt{3} i + i^{2}) (1 - \sqrt{2} i)$

$\Leftrightarrow i z = (12 + 4 \sqrt{3} i - 1) (1 - \sqrt{2} i)$

$\Leftrightarrow i z = (11 + 4 \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{2} i)$

$\Leftrightarrow i z = 11 + 4 \sqrt{3} i - 11 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{6} i^{2}$

$\Leftrightarrow i z = 11 + 4 \sqrt{3} i - 11 \sqrt{2} i + 4 \sqrt{6}$

$\Leftrightarrow i z = (11 + 4 \sqrt{6}) + (4 \sqrt{3} - 11 \sqrt{2}) i$

$\Leftrightarrow z = - (11 + 4 \sqrt{6}) i + 4 \sqrt{3} - 11 \sqrt{2}$

Vậy phần thực của số phức z là $- 11 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} .$

Câu 14:

Biết F(x) là một nguyên hàm xủa hàm số f (x) = e^x + 2x thỏa mãn F (1) = e. Khi đó, F (x) bằng

A. F (x) = e^x + x - 1;

B. F (x) = e^x + x² + 1;

C. F (x) = e^x + x² - 1;

D. F (x) = e^x + 2x - 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: f (x) = e^x + 2x nên suy ra nguyên hàm của f (x) có dạng

$F (x) = \int f (x) d x = \int (e^{x} + 2 x) d x$

= e^x + x² + C

Mà F (1) = e nên suy ra e + 1 + C = e Û C = - 1

Vậy F (x) = e^x + x² - 1.

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P(1; -1; 2); Q(2; 0; 1) là

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{matrix}; t \in ℝ;$

B. $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 2 + t \end{matrix}; t \in ℝ;$

C. $\{\begin{matrix} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{matrix}; t \in ℝ;$

D. $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 + t \end{matrix}; t \in ℝ .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có véc-tơ $\vec{P Q} = (1; 1; - 1)$

Phương trình đường thẳng PQ đi qua Q(2; 0; 1) và có véc-tơ chỉ phương $\vec{P Q} = (1; 1; - 1)$ là

$P Q : \{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{matrix}; t \in ℝ .$

Câu 16:

Trong hệ tọa độ Oxyz cho M(2; 5; -1) và N(4; 3; 0) độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. MN = 6;

B. $M N = 6 \sqrt{2};$

C. MN = 3;

D.

M N = 6 \sqrt{2};

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Độ dài đoạn thẳng MN bằng $M N = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(3 - 5)}^{2} + {(0 + 1)}^{1}} = 3.$

Câu 17:

Nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{1}{2 x}

trên (0; +¥), biết

F (e) = \frac{e}{2}

là

A. $F (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{e^{2}} + e);$

B. $F (x) = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{e^{2}} + e);$

C. $F (x) = \frac{1}{2} (\ln x + e - 2);$

D. $F (x) = \frac{1}{2} (\ln x + e - 1) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x}$ trên (0; +¥) là

$F (x) = \int f (x) d x = \int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

$= \frac{1}{2} \ln |x| + C = \frac{1}{2} \ln (x) + C$

Mà $F (e) = \frac{e}{2}$ nên suy ra

$\frac{1}{2} \ln (e) + C = \frac{1}{2} + C = \frac{e}{2}$

$\Leftrightarrow C = \frac{e - 1}{2}$

Vậy suy ra được $F (x) = \frac{1}{2} (\ln x + e - 1) .$

Câu 18:

Cho hai số phức z = 3 + 2i; w = 1 - i. Mô đun của số phức $\bar{z} . w$ bằng:

A. $\sqrt{24};$

B. $\sqrt{14};$

C. $\sqrt{26};$

D. $5 \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số phức z = 3 + 2i nên suy ra số phức liên hợp của số phức z là $\bar{z} = 3 - 2 i$

Khi đó mô đun của số phức $\bar{z} . w$ bằng:

$|\bar{z} . w| = |\bar{z}| . |w| = |3 - 2 i| . |1 - i|$

$= \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{13} . \sqrt{2} = \sqrt{26} .$

Câu 19:

Số phức liên hợp của số phức z = 5 - 7i là

A. $\bar{z} = - 5 + 7 i;$

B. $\bar{z} = 5 + 7 i;$

C. $\bar{z} = - 5 - 7 i;$

D. $\bar{z} = 5 - 7 i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Số phức liên hợp của số phức z = 5 - 7i là $\bar{z} = 5 + 7 i .$

Câu 20:

Số phức -6 + 3i có phần thực bằng

A. -6;

B. -3;

C. 6;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số phức -6 + 3i có phần thực bằng -6.

Câu 21:

Tọa độ tâm mặt cầu (S) đi qua các điểm O(0; 0; 0); A(3; 0; 0); B(3; 0; 3); C(3; 3; 3) là

A. $(\frac{3}{4}; \frac{3}{4}; \frac{3}{4});$

B. $(1; \frac{3}{2}; \frac{3}{2});$

C. (1; 1; 1);

D. $(\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; \frac{3}{2}) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi I(x; y; z) ta có:

$\{\begin{matrix} I O = I A \\ I O = I B \\ I O = I C \end{matrix} \Rightarrow {\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(x - 3)}^{2} + y^{2} + z^{2} \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(x - 3)}^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} \end{matrix}}_{}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 6 x + 9 = 0 \\ - 6 x + 9 - 6 z + 9 = 0 \\ - 6 x + 9 - 6 y + 9 - 6 z + 9 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{3}{2} \\ z = \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{2} \end{matrix}$

Vậy tâm I của mặt cầu (S) có tọa độ là $(\frac{3}{2}; \frac{3}{2}; \frac{3}{2}) .$

Câu 22:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình bên. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x), x = 0; x = c, trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $S = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x;$

B. $S = \int_{0}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x;$

C. $S = \int_{0}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x;$

D. $S = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x), x = 0; x = c, trục hoành được tính bởi công thức

$S = \int_{0}^{c} |f (x)| d x = \int_{0}^{b} |f (x)| d x + \int_{b}^{c} |f (x)| d x$

$= \int_{0}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x .$

Câu 23:

Tìm khẳng định SAI trong các khẳng định sau?

A. $\int e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C;$

B. $\int x^{e} d x = \frac{x^{e + 1}}{e + 1} + C;$

C. $\int \frac{d x}{x} = \ln |x| + C;$

D. $\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\int e^{x} d x = e^{x} + C;$

$\int x^{e} d x = \frac{1}{e + 1} \int (e + 1) x^{e} d x = \frac{x^{e + 1}}{e + 1} + C;$

$\int \frac{d x}{x} = \ln |x| + C;$

$\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \int 2 \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C;$

Vậy suy ra khẳng định SAI trong các khẳng định trên là $\int e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C .$

Câu 24:

Họ tất cả các nguyên hàm F (x) của hàm số $f (x) = x - \frac{1}{x}$ với x Î (-¥; 0) là

A. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln (- x) + C;$

B. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (- x) + C;$

C. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x) + C;$

D. $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln (x) + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Họ tất cả các nguyên hàm F (x) của hàm số $f (x) = x - \frac{1}{x}$ với x Î (-¥; 0) là

$F (x) = \int f (x) d x = \int (x - \frac{1}{x}) d x$

$= \frac{x^{2}}{2} - \ln |x| + C = \frac{x^{2}}{2} - \ln (- x) + C .$

Câu 25:

Cho số phức z = 2 - 2i. Mô đun của số phức $\frac{z}{1 + i}$ bằng

A. 4;

B. 2;

C. $2 \sqrt{2};$

D. $\sqrt{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Mô đun của số phức $\frac{z}{1 + i}$ bằng

$|\frac{z}{1 + i}| = |\frac{2 - 2 i}{1 + i}| = \frac{|2 - 2 i|}{|1 + i|}$

$= \frac{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2.$

Câu 26:

Nguyên hàm của hàm số y = 3^x là:

A. $\int 3^{x} d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C;$

B. $\int 3^{x} d x = \frac{3^{x - 1}}{x - 1} + C;$

C. $\int 3^{x} d x = 3^{x} \ln 3 + C;$

D. $\int 3^{x} d x = \frac{3^{x + 1}}{x + 1} + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Nguyên hàm của hàm số y = 3^x là:

$\int 3^{x} d x = \frac{1}{\ln 3} \int 3^{x} \ln 3 d x = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C .$

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x² + (y - 4)² + (z + 1)² = 25 có tâm là điểm

A. I(0; -4; 1);

B. I(-4; 1; -5);

C. I(0; 4; -1);

D. I(4; -1; 5).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x² + (y - 4)² + (z + 1)² = 25 có tâm là điểm I(0; 4; -1).

Câu 28:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}; y = 0; x = 0; x = - 1$ bằng

A. 2 + ln 4;

B. 2 - ln 4;

C. 2 + ln 2;

D. 2 - ln 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}; y = 0; x = 0; x = - 1$ bằng

$S = \int_{- 1}^{0} |\frac{2 x - 1}{x - 1}| d x = \int_{- 1}^{0} \frac{2 x - 1}{x - 1} d x$

$= \int_{- 1}^{0} (2 + \frac{1}{x - 1}) d x = {(2 x + \ln |x - 1|)|}_{- 1}^{0} = 2 + \ln 2.$

Câu 29:

Hàm số f (x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là SAI.

Media VietJack

A. $\int_{- 2}^{0} f (x) d x > \int_{0}^{1} f (x) d x;$

B. $\int_{- 2}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x < 0;$

C. $\int_{1}^{0} f (x) d x > 0;$

D. $- \int_{- 2}^{0} f (x) d x > 0.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy diện tích của f(x) và trục hoành trên các khoảng (-2; 0) và (0; 1) là S₁ và S₂ với:

+) $S_{1} = \int_{- 2}^{0} |f (x)| d x = - \int_{- 2}^{0} f (x) d x > 0$

+) $S_{2} = \int_{0}^{1} |f (x)| d x = - \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{1}^{0} f (x) d x > 0$

+) S₁ > S₂ nên suy ra:

$\int_{- 2}^{0} |f (x)| d x > \int_{0}^{1} |f (x)| d x$

$\Leftrightarrow - \int_{- 2}^{0} f (x) d x > - \int_{0}^{1} f (x) d x$

$\Leftrightarrow \int_{- 2}^{0} f (x) d x < \int_{0}^{1} f (x) d x$

$\Leftrightarrow \int_{- 2}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x < 0$

Vậy suy ra mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau là $\int_{- 2}^{0} f (x) d x > \int_{0}^{1} f (x) d x .$

Câu 30:

Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x² là

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{2} x^{3} + C;$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} x^{3} + C;$

C. $\int f (x) d x = x^{3} + C;$

D. $\int f (x) d x = x^{2} + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x² là

$\int f (x) d x = \int 3 x^{2} d x = x^{3} + C .$

Câu 31:

Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = - 2$ và $\int_{0}^{2} g (x) d x = 3$ . Ta có $I = \int_{0}^{2} [x + 2 f (x) - 3 g (x)] d x$ bằng

A. I = 7;

B. I = -11;

C. I = -9;

D. I = -15

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$I = \int_{0}^{2} [x + 2 f (x) - 3 g (x)] d x$

${= \frac{x^{2}}{2}|}_{0}^{2} + 2 \int_{0}^{2} f (x) d x - 3 \int_{0}^{2} g (x) d x$

$= \frac{2^{2}}{2} + 2. (- 2) - 3.3 = - 11.$

Câu 32:

Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x³ + 1; y = 0; x = 0; x = 1 là

A. $\frac{3}{4};$

B. $\frac{4}{3};$

C. $\frac{5}{4};$

D. $\frac{7}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x³ + 1; y = 0; x = 0; x = 1 là

$S = \int_{0}^{1} |x^{3} + 1| d x = \int_{0}^{1} (x^{3} + 1) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{4} + x)|}_{0}^{1} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} .$

Câu 33:

Trong mặt phẳng tọa độ, biết điểm M(3; -4) là điểm biểu diễn số phức z. Mô đun của z bằng

A. 3;

B. 4i;

C. -4i;

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm M(3; -4) là điểm biểu diễn số phức z nên suy ra z = 3 - 4i

Khi đó mô đun của số phức z là

$|z| = |3 - 4 i| = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5.$

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, cho

\vec{a} = (3; - 4; 1); \vec{b} = (2; 1; 5)

; véc tơ

\vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b}

có tọa độ

A. $\vec{u} = (0; - 11; - 13);$

B. $\vec{u} = (0; - 11; - 14);$

C. $\vec{u} = (12; - 5; - 17);$

D. $\vec{u} = (12; - 5; 16) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} = 2 (3; - 4; 1) - 3 (2; 1; 5)$

= (2.3 - 3.2; 2.(-4) - 3.1; 2.1 - 3.5)

= (0; -11; -13).

Câu 35:

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; -1) và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình 2x + y = 0 và x = z + 1

A. x - 2y + z + 4 = 0;

B. x - 2y + z - 4 = 0;

C. x - 2y - 2z + 1 = 0;

D. 2x - y - z - 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hai mặt phẳng có phương trình 2x + y = 0 và x = z + 1 lần lượt có hai véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n_{1}} = (2; 1; 0), \vec{n_{2}} = (1; 0; - 1)$

Phương trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng trên nên suy ra véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với hai véc-tơ pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (2; 1; 0), \vec{n_{2}} = (1; 0; - 1)$

Ta suy ra được

$\vec{n} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}]$

$= (|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}|)$

= (-1; 2; -1) = -(1; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; -1) nhận (1; -2; 1) làm véc-tơ pháp tuyến là

(x - 1) - 2(y - 2) + (z + 1) = 0

Û x - 2y + z + 4 = 0.

Câu 36:

Trong hệ tọa độ Oxyz điểm M' đối xứng của điểm N(2; 3; -4) qua gốc tọa độ O có tọa độ

A. M '(-2; -3; -4);

B. M '(-2; -3; 4);

C. M '(-2; -3; 4);

D. M '(2; 3; 4);

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B và C

Trong hệ tọa độ Oxyz điểm M' đối xứng của điểm N(2; 3; -4) qua gốc tọa độ O có tọa độ M '(-2; -3; 4).

Câu 37:

Hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) = -5; f (b) = 1. Tích phân $I = \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x$ bằng

A. I = 6;

B. I = -4;

C. I = -6;

D. I = 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$I = \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{a}^{b}$

= f (b) - f (a) = 1 - (-5) = 6.

Câu 38:

Gọi z₁; z₂ là hai nghiệm của phương trình 2z² - 5z + 10 = 0. Giá trị của z₁² + z₂² bằng

A. $\frac{15}{2};$

B. 5;

C. $\frac{15}{4};$

D. $- \frac{15}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

z₁; z₂ là hai nghiệm của phương trình 2z² - 5z + 10 = 0

Theo Viét: $\{\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = \frac{5}{2} \\ z_{1} . z_{2} = 5 \end{matrix}$

Khi đó,

z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² - 2z₁.z_{2 $= {(\frac{5}{2})}^{2} - 2.5 = - \frac{15}{4} .$}

Câu 39:

Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x); "x Î (-¥; +¥). Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x + 2)?

A. F (x + 2);

B. $\frac{1}{2} F (x + 2);$

C. $F (\frac{x^{2}}{2}) + F (2 x);$

D. $F (\frac{x^{2}}{2} + 2 x) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x)

Đặt u = x + 2 Þ du = dx

$\Rightarrow \int f (x + 2) d x = \int f (u) d u = F (u) + C = F (x + 2) + C$

Vậy hàm số F (x + 2) là một nguyên hàm của hàm số f (x + 2) với C = 0.

Câu 40:

Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 12 = 0 là

A. $(\frac{29}{9}; - \frac{10}{9}; \frac{20}{9});$

B. $(- \frac{29}{9}; \frac{10}{9}; - \frac{20}{9});$

C. $(- \frac{38}{9}; \frac{19}{9}; - \frac{38}{9});$

D. $(\frac{38}{9}; - \frac{19}{9}; \frac{38}{9}) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\vec{n_{P}} = (2; - 1; 2)$

Phương trình đường thẳng d đi qua M, vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận $\vec{n_{P}} = (2; - 1; 2)$ làm véc-tơ chỉ phương là

$d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 + 2 t \end{matrix}$

Hình chiếu H của điểm M là giao của đường thẳng d mà mặt phẳng (P) nên H(1 + 2t; -1 - t; 2 + 2t) thuộc mặt phẳng (P)

Þ 2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0

Û 9t + 19 = 0 $\Leftrightarrow t = - \frac{19}{9}$

Vậy hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) có tọa độ $(- \frac{29}{9}; \frac{10}{9}; - \frac{20}{9}) .$

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, giao tuyến của hai mặt phẳng x + 2y + z - 1 = 0, 2x - y - z + 4 = 0 là đường thẳng có phương trình là

A. $\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z + 7}{5};$

B. $\frac{x}{1} = \frac{y + 3}{- 3} = \frac{z - 7}{5};$

C. $\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1};$

D. $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{- 5} = \frac{z + 2}{- 1} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Giao tuyến của hai mặt phẳng x + 2y + z - 1 = 0, 2x - y - z + 4 = 0 là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{matrix} x + 2 y + z - 1 = 0 \\ 2 x - y - z + 4 = 0 \end{matrix}$

Đặt x = t nên suy ra hệ phương trình (1) trở thành

$\{\begin{matrix} x + 2 y + z - 1 = 0 \\ 2 x - y - z + 4 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 y + z = 1 - t \\ y + z = 2 t + 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y = - 3 t - 3 \\ z = 5 t + 7 \end{matrix}$

Vậy suy ra dường thẳng cần tìm có phương trình tham số là

$\{\begin{matrix} x = t \\ y = - 3 t - 3 \\ z = 5 t + 7 \end{matrix}$

Vậy phương trình đường thẳng d là $\frac{x}{1} = \frac{y + 3}{- 3} = \frac{z - 7}{5} .$

Câu 42:

Cho (d): x = y = z; (P): x + z - 1 = 0; (Q): y + 1 = 0. Gọi (D) là đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q). Khoảng cách giữa hai đường thẳng (d) và (D) là

A. $\frac{2 \sqrt{3}}{3};$

B. $\frac{\sqrt{6}}{6};$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3};$

D. $\frac{\sqrt{6}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{matrix} x + z - 1 = 0 \\ y + 1 = 0 \end{matrix}$

Đặt x = t thì hệ phương trình (1) trở thành

$\{\begin{matrix} z = 1 - t \\ y = - 1 \end{matrix}$

Vậy suy ra phương trình đường thẳng D là:

$(Δ) : \{\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 1 - t \end{matrix} \Rightarrow \vec{u_{Δ}} = (1; 0; - 1)$

Chọn M(0; -1; 1) thuộc đường thẳng (D)

(d): x = y = z $\Rightarrow \vec{u_{d}} = (1; 1; 1)$

Chọn O(0; 0; 0) thuộc đường thẳng (d)

Ta có: $\vec{O M} = (0; - 1; 1)$

Áp dụng công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng

$d_{Δ / d} = \frac{|[\vec{u_{d}}; \vec{u_{Δ}}]; \vec{O M}|}{|[\vec{u_{d}}; \vec{u_{Δ}}]|} = \frac{|1.0 + (- 2) . (- 1) + 1.1|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{2} .$

Câu 43:

Phương trình z³ = 1 có ba nghiệm phức phân biệt và A; B; C là các điểm biểu diễn ba số phức đó trên mặt phẳng phức. Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là

A. (0; 0);

B. (1; 1);

C. (-1; 1);

D. (-1; -1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

z³ = 1 Û (z - 1)(z² + z + 1) = 0

$\Leftrightarrow (z - 1) (z^{2} + z + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 0$

$\Leftrightarrow (z - 1) [{(z + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3 i^{2}}{4}] = 0$

$\Rightarrow [\begin{matrix} z = 1 \\ z = \frac{- 1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ z = \frac{- 1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{matrix}$

Vậy suy ra $A (1; 0), B (\frac{- 1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}); B (\frac{- 1}{2}; \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Trong tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

$G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{2})$

$\Rightarrow G (\frac{1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{2}; \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Þ G(0; 0).

Câu 44:

Cho số phức z. Biểu thức |z + 1|² + |z - 1|² - 2 có giá trị bằng giá trị của biểu thức nào sau đây

A. |z|²;

B. $\frac{1}{2} {|z|}^{2};$

C. 2|z|²;

D. 4|z|².

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi z = a + bi nên suy ra

|z + 1|² + |z - 1|² - 2

= (a + 1)² + b² + (a - 1)² + b² - 2

= a² + 2a + 1 + b² + a² - 2a + 1 + b² - 2

= 2(a² + b²) = 2|z|².

Câu 45:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 3 (x \geq - 1) \\ 3 x^{2} - 2 (x \leq - 1) \end{matrix} .$ Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên ℝ thỏa mãn F (0) = 2; F (-2) = 1. Giá trị của F (1) - F (-3) bằng

A. 31;

B. 22;

C. -19;

D. -31.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên ℝ nên ta có:

+) x ³ -1 nên suy ra

$F (x) = \int (2 x + 3) d x = x^{2} + 3 x + C_{1}$

Mà F (0) = 2 Þ C₁ = 2

Vậy suy ra F (x) = x² + 3x + 2 (x ³ -1)

Þ F (1) = 1 + 3 + 2 = 6

+) x £ -1 nên suy ra

$F (x) = \int (3 x^{2} - 2) d x = x^{3} - 2 x + C_{2}$

Mà F (-2) = 1 Þ C₂ = 5

Vậy suy ra F (x) = x³ - 2x + 5 (x £ -1)

Þ F (-3) = -27 + 6 + 5 = -16

Khi đó F (1) - F (-3) = 6 + 16 = 22.

Câu 46:

Hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f (1) = 1; f (2) = 4. Tích phân $J = \int_{1}^{2} [\frac{f^{'} (x) + 2}{x} - \frac{f (x) + 1}{x^{2}}] d x$ bằng

A. J = 4 - ln 2;

B. $J = \ln 2 - \frac{1}{2};$

C. $J = \frac{1}{2} + \ln 4;$

D. J = 1 + ln 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$J = \int_{1}^{2} [\frac{f^{'} (x) + 2}{x} - \frac{f (x) + 1}{x^{2}}] d x$

$= \int_{1}^{2} [\frac{f^{'} (x)}{x} - \frac{f (x) + 1}{x^{2}}] d x + \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

Đặt g (x) = f (x) + 1 Þ g '(x) = f '(x)

và $h (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow h^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Vậy khi đó

$J = \int_{1}^{2} [g^{'} (x) h (x) + g (x) h^{'} (x)] d x + \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

$= {g (x) h (x)|}_{1}^{2} + {2 \ln |x||}_{1}^{2}$

$= {[\frac{f (x) + 1}{x}]|}_{1}^{2} + {2 \ln |x||}_{1}^{2}$

$= \frac{f (2) + 1}{2} - \frac{f (1) + 1}{1} + 2 \ln 2$

$= \frac{4 + 1}{2} - \frac{1 + 1}{1} + 2 \ln 2$

$= \frac{1}{2} + \ln 4.$

Câu 47:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d): x - 1 = y - 2 = z + 1 và có khoảng cách đến điểm A(2; 3; -3) lớn nhất có phương trình

A. x + y - 2z + 5 = 0;

B. x + y - 2z - 5 = 0;

C. x + y + 2z - 1 = 0;

D. x - y + 2z + 5 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d): x - 1 = y - 2 = z + 1 có véc-tơ chỉ phương là: $\vec{u} = (1; 1; 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là $\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + t \end{matrix}$

Viết phương trình (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận $\vec{u} = (1; 1; 1)$ làm véc-tơ pháp tuyến

(P): (x - 2) + (y - 3) + (z + 3) = 0

Û x + y + z - 2 = 0

Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) nên suy ra H là giao điểm của (d) và mặt phẳng (P)

Suy ra H(1 + t; 2 + t; -1 + t) thuộc mặt phẳng (P)

Þ 1 + t + 2 + t + -1 + t - 2 = 0

Û 3t = 0 Û t = 0

Vậy H(1; 2; -1) $\Rightarrow \vec{A H} = (- 1; - 1; 2)$

Để khoảng cách từ A đến mặt phẳng (Q) chứa (d) là lớn nhất thì AH vuông góc với mặt phẳng (Q)

Mặt phẳng (Q) đi qua H(1; 2; -1) và có $\vec{A H} = (- 1; - 1; 2)$ làm véc-tơ pháp tuyến là

(Q): -(x - 1) - (y - 2) + 2(z + 1) = 0

Û - x - y + 2z + 5 = 0

Û x + y - 2z - 5 = 0.

Câu 48:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$ và y = x². Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quay quanh trục Ox bằng

A. $\frac{3 π}{10};$

B. $\frac{3}{10};$

C. $\frac{9 π}{10};$

D. $\frac{9}{10} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ và y = x² là nghiệm của phương trình

$\sqrt{x} = x^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x} (x \sqrt{x} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{x} = 0 \\ x \sqrt{x} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix}$

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quay quanh trục Ox bằng

$V = π \int_{0}^{1} |x - x^{4}| d x = π \int_{0}^{1} (x - x^{4}) d x$

$= {π (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{5}}{5})|}_{0}^{1} = π (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \frac{3 π}{10} .$

Câu 49:

Biết z₁; z₂ = 4 + 2i là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0; (a; b; c Î ℝ và a ¹ 0), Giá trị của T = |z₁| + 3|z₂| là

A. $T = 8 \sqrt{5};$

B. $T = 4 \sqrt{5};$

C. $T = 2 \sqrt{5};$

D. $T = 6 \sqrt{5} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Biết z₁; z₂ = 4 + 2i là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 nên z₁ = 4 - 2i

Khi đó, T = |z₁| + 3|z₂|

= |4 - 2i| + 3|4 + 2i|

$= \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}} + 3 \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 8 \sqrt{5} .$

Câu 50:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x}$ trên khoảng (2; +¥) là

A. $\frac{\ln (x - 2) + \ln x}{2} + C;$

B. $\frac{\ln (x - 2) - \ln x}{2} + C;$

C. $\frac{\ln x - \ln (x - 2)}{3} + C;$

D. $\frac{\ln (x - 2) - \ln x}{3} + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 2 x}$ trên khoảng (2; +¥) là

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{x^{2} - 2 x} d x = \int \frac{1}{(x - 2) x} d x$

$= \frac{1}{2} \int \frac{x - (x - 2)}{(x - 2) x} d x = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}) d x$

$= \frac{1}{2} (\ln |x - 2| - \ln |x|) + C = \frac{\ln (x - 2) - \ln x}{2} + C .$