50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 7

Câu 1:

Cho hàm số f (x) = 3x² - 2. Khi đó $\int f (x) d x$ bằng

A. x³ - x² + C;

B. x³ - C;

C. x³ - 2x + C;

D. 6x.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int f (x) d x = \int (3 x^{2} - 2) d x = x^{3} - 2 x + C .$

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): 2x + y - 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{4}} = (2; - 3; 4);$

B. $\vec{n_{3}} = (2; 1; 3);$

C. $\vec{n_{1}} = (2; 0; - 3);$

D. $\vec{n_{2}} = (2; 1; - 3) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P): 2x + y - 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{2}} = (2; 1; - 3) .$

Câu 3:

Số phức liên hợp của số phức z = 8 - 9i là

A. $\bar{z} = - 8 - 9 i;$

B. $\bar{z} = 8 + 9 i;$

C. $\bar{z} = 9 - 8 i;$

D. $\bar{z} = - 8 + 9 i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Số phức liên hợp của số phức z = 8 - 9i là: $\bar{z} = 8 + 9 i .$

Câu 4:

Nếu hàm số f (x) thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{1}^{5} f (x) d x = - 12$ thì $\int_{0}^{5} f (x) d x$ bằng

A. 10;

B. 14;

C. -10;

D. -14.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int_{0}^{5} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{5} f (x) d x$

= 2 - 12 = -10.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): (x + 1)² + y² + (z - 2)² = 4 có bán kính bằng

A. 1;

B. 2;

C. 16;

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt cầu (S): (x + 1)² + y² + (z - 2)² = 4 có bán kính bằng R = 2.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm A(0; -3; 0), B(2; 0; 0), C(0; 0; 6)

A. $\frac{x}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z}{6};$

B. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{6} = 1;$

C. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{6} = 0;$

D. $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng đi qua ba điểm A(0; -3; 0), B(2; 0; 0), C(0; 0; 6) là mặt phẳng đoạn chắn có phương trình:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{6} = 1.$

Câu 7:

Trên mặt phẳng Oxy, cho M(3; -4) là điểm biểu diễn của số phức z. Khi đó phần ảo của z bằng

A. 5;

B. 4;

C. 3;

D. -4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài điểm M(3; -4) là điểm biểu diễn của số phức z nên suy ra z = 3 - 4i

Khi đó phần ảo của z bằng -4.

Câu 8:

Môđun của số phức z = 4 - 3i

A. 25;

B. $\sqrt{17};$

C. 5;

D. 17.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Môđun của số phức z = 4 - 3i là:

$|z| = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}} = 5.$

Câu 9:

Nếu hàm số f (x) thỏa mãn $\int_{1}^{2} f (x) d x = - 4$ thì $\int_{1}^{2} 2 f (x) d x$ bằng

A. -6;

B. 8;

C. -2;

D. -8.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{1}^{2} 2 f (x) d x = 2 \int_{1}^{2} f (x) d x = 2. (- 4) = - 8.$

Câu 10:

Tính $\int \sin 3 x d x$ được kết quả bằng

A. 3cos 3x;

B. $\frac{1}{3} \cos 3 x + C;$

C. -3cos 3x + C;

D.

\frac{- \cos 3 x}{3} + C .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int \sin 3 x d x = \frac{- 1}{3} \int - 3 \sin 3 x d x = \frac{- 1}{3} \cos 3 x + C .$

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $(d) : \frac{x + 1}{- 3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u_{3}} = (- 3; 4; 2);$

B. $\vec{u_{4}} = (- 3; 4; 0);$

C. $\vec{u_{1}} = (- 1; 2; 0);$

D. $\vec{u_{2}} = (3; 4; 2) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $(d) : \frac{x + 1}{- 3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là

$\vec{u_{3}} = (- 3; 4; 2) .$

Câu 12:

Cho hai số phức z₁ = 3 - 2i và z₂ = -4 + 6i. Số phức z₁ - z₂ bằng

A. -1 - 8i;

B. 7 + 4i;

C. 7 - 8i;

D. -1 + 4i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có:

z₁ - z₂ = (3 - 2i) - (-4 + 6i)

= 3 - 2i + 4 - 6i = 7 - 8i.

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; -2) và B(5; -4; 4). Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A. (3; 2; 1);

B. (6; -4; 2);

C. (3; -2; 1);

D. (4; -4; 6).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là:

$I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

$\Rightarrow I (\frac{1 + 5}{2}; \frac{0 - 4}{2}; \frac{- 2 + 4}{2})$

$\Leftrightarrow I (3; - 2; 1) .$

Câu 14:

Cho hai số phức z = 1 - 2i và w = 2 + i. Môđun của số phức z.w bằng

A. 3;

B. $\sqrt{5};$

C. 5;

D.

\sqrt{2} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: z.w = (1 - 2i)(2 + i)

= 2 - 4i + i - 2i² = 2 - 3i + 2

= 4 - 3i.

Môđun của số phức z.w bằng:

$|z . w| = \sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}} = 5.$

Câu 15:

Nếu F (x) = x³ là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên ℝ thì giá trị của $\int_{0}^{1} [1 + f (x)] d x$ bằng

A. 2;

B. 4;

C. -2;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{0}^{1} [1 + f (x)] d x = {(x + F (x))|}_{0}^{1}$

$= {(x + x^{3})|}_{0}^{1} = 1 + 1 = 2.$

Câu 16:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 1; -2) và B(4; -5; -6). Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u_{3}} = (4; - 4; - 4);$

B. $\vec{u_{2}} = (4; - 4; - 4);$

C. $\vec{u_{1}} = (4; - 6; - 8);$

D. $\vec{u_{4}} = (4; - 6; - 4) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\vec{A B} = (4; - 6; - 4)$ .

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_{4}} = (4; - 6; - 4) .$

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1; 0; −1) đến mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 2 = 0 bằng

A. 1;

B. 3;

C. 4;

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$d_{I / (P)} = \frac{|2 x_{M} + y_{M} - 2 z_{M} + 2|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}}$

$= \frac{|2.1 - 2. (- 1) + 2|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{6}{3} = 2.$

Câu 18:

Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x; y = 0; x = 0; x = 3 có diện tích bằng

A. e³ - e;

B. e³;

C. e³ - 1;

D. e³ + 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x; y = 0; x = 0; x = 3 có diện tích bằng

$\int_{0}^{3} e^{x} d x = {e^{x}|}_{0}^{3} = e^{3} - e^{0} = e^{3} - 1.$

Câu 19:

Cho số phức z = 1 + 2i. Số phức z(1 - i) có phần thực và phần ảo lần lượt bằng

A. 3 và -1;

B. -1 và 1;

C. -3 và 1;

D. 3 và 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: z(1 - i) = (1 + 2i)(1 - i)

= 1 - i + 2i - 2i² = 1 + i + 2 = 3 + i.

Vậy số phức z(1 - i) có phần thực và phần ảo lần lượt bằng 3 và 1.

Câu 20:

Nếu hàm số f (x) thỏa mãn $\int_{1}^{4} [1 + 2 f (x)] d x = 9$ thì $\int_{1}^{4} f (x) d x$ bằng

A. 2;

B. 4;

C. -3;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{1}^{4} [1 + 2 f (x)] d x = 9$

$\Leftrightarrow {x|}_{1}^{4} + 2 \int_{1}^{4} f (x) d x = 9$

$\Leftrightarrow 3 + 2 \int_{1}^{4} f (x) d x = 9$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{4} f (x) d x = 3.$

Câu 21:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 6x, y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh trục hoành bằng

A. 12p;

B. 12;

C. 36p;

D. 6p.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 6x, y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh trục hoành bằng:

$V = π \int_{0}^{1} {(6 x)}^{2} d x = π \int_{0}^{1} 36 x^{2} d x$

$= {12 π . x^{3}|}_{0}^{1} = 12 π .$

Câu 22:

Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x thỏa mãn F (p) = 1 thì F (0) bằng

A. 0;

B. 2;

C. 1;

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x nên suy ra:

Mà F (p) = 1 Þ sin p + C = 1 Û C = 1

Vậy F (x) = sin x + 1

Þ F (0) = sin 0 + 1 = 1.

Câu 23:

Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ - x; y = 0; x = 0; x = 1 có diện tích bằng

A. $π \int_{0}^{1} {(x^{3} - x)}^{2} d x;$

B. $\int_{0}^{1} ({|x|}^{3} - |x|) d x;$

C. $\int_{0}^{1} |x^{3} - x| d x;$

D. $\int_{0}^{1} (x^{3} - x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ - x; y = 0; x = 0; x = 1 có diện tích bằng

$S = \int_{0}^{1} |x^{3} - x| d x .$

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm M(1; -1; 0)?

A. (P₃) : x + 2y - z - 1 = 0;

B. (P₂) : 2x + y + 3z + 1 = 0;

C. (P₁) : 2x - y + 3z - 3 = 0;

D. (P₄) : x - y - z = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Lần lượt thử tọa độ điểm M vào các mặt phẳng (P₁), (P₂), (P₃), (P₄) ta thấy điểm M thuộc mặt phẳng (P₁) với:

2.1 - (-1) + 3.0 - 3 = 0.

Câu 25:

Nếu hàm số f (x) có f (0) = 1, f (1) = 3 và đạo hàm f '(x) liên tục trên [0; 1] thì

\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x

bằng

A. 4;

B. -2;

C. 1;

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{0}^{1} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{0}^{1} = f (1) - f (0)$

= 3 - 1 = 2.

Câu 26:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0; 1; -1); B(-2; 0; 1); C(1; 2; 0). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) có tọa độ là

A. (-3; -4; -1);

B. (1; 4; -1);

C. (-3; 4; -3);

D. (-3; 4; -1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có:

+) $\vec{A B} = (- 2; - 1; 2)$

+) $\vec{A C} = (1; 1; 1)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) vuông góc với cả hai véctơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$

Suy ra:

$\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{A C}]$

$= (|\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}|)$

= (-3; 4; -1).

Câu 27:

Cho tham số thực a > 0. Khi đó a > 0. Khi đó $\int_{0}^{a} 3 e^{3 x} d x$ bằng

A. e^3a - 1;

B. 3e^a - 3;

C. e^3a + 1;

D. 3e^a + 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{0}^{a} 3 e^{3 x} d x = {e^{3 x}|}_{0}^{a} = e^{3 a} - 1.$

Câu 28:

Cho tham số thực a > 0. Khi đó a > 0. Khi đó $\int_{0}^{a} 3 x e^{x} d x$ bằng

A. 3ae^a - 3e^a + 3;

B. 3ae^a + 3e^a - 3;

C. 3ae^a + 3e^a + 3;

D. 3ae^a - 3e^a - 3;

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $\{\begin{matrix} u = 3 x \Rightarrow d u = 3 d x \\ d v = e^{x} d x \Rightarrow v = e^{x} \end{matrix}$

Khi đó $\int_{0}^{a} 3 x e^{x} d x = {3 x e^{x}|}_{0}^{a} - \int_{0}^{a} 3 e^{x} d x$

$= {(3 x e^{x} - 3 e^{x})|}_{0}^{a} = 3 a e^{a} - 3 e^{a} + 3.$

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt cầu có tâm O và đi qua điểm M(1; 2; -2) là

A. x² + y² + z² = 9;

B. x² + y² + z² = 1;

C. x² + y² + z² = 0;

D. x² + y² + z² = 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình của mặt cầu có tâm O và đi qua điểm M(1; 2; -2) là

(S): x² + y² + z² = 9.

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0; 1; 0) vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + 2z = 0

A. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{2};$

B. $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{2};$

C. $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2};$

D. $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận véc-tơ pháp tuyến của (P) làm véc-tơ chỉ phương

$\Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n_{P}} = (1; 1; 2)$

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0; 1; 0) nhận $\vec{u_{d}} = (1; 1; 2)$ làm véc-tơ chỉ phương là:

$(d) : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{2}$

Câu 31:

Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 0; 0) và B(2; 3; 4) là

A. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4};$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4};$

C. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4};$

D. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\vec{A B} = (1; 3; 4)$

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận $\vec{A B}$ làm véc-tơ chỉ phương là

$\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} .$

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và vuông góc với trục Oz là

A. x + y - 3 = 0;

B. z - 2 = 0;

C. z - 3 = 0;

D. z + 3 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Trục Oz có véc-tơ chỉ phương là (0; 0; 1).

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và vuông góc với trục Oz, nhận (0; 0; 1) làm véc-tơ chỉ phương là: z - 3 = 0.

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 4z - 11 = 0 có bán kính bằng

A. 31;

B. $\sqrt{31};$

C. 16;

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

(S): x² + y² + z² + 2x - 4z - 11 = 0

Û (x² + 2x + 1) + y² + (z² - 4z + 4) = 16

Û (x + 1)² + y² + (z - 2)² = 16

Vậy mặt cầu (S) có bán kính bằng R = 4.

Câu 34:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; -2; 2) và B(-1; 2; -2). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là

A. x² + y² + z² = 3;

B. x² + y² + z² = 36;

C. x² + y² + z² = 9;

D. x² + y² + z² = 6.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

I là trung điểm của AB có tọa độ là:

$\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} x_{I} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \\ y_{I} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0 \\ z_{I} = \frac{2 - 2}{2} = 0 \end{matrix}$

Þ I(0; 0; 0)

+) $A B = \sqrt{{(- 1 - 1)}^{2} + {(2 + 2)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2}} = 6$

Vậy suy ra độ dài bán kính là R = 3.

Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là: x² + y² + z² = 9.

Câu 35:

Cho hàm số f (x) = 3x.cos x. Khi đó $\int f (x) d x$ bằng

A. 3x.sin x + 3cos x + C;

B. 3x.sin x - 3cos x + C;

C. -3x.sin x - 3cos x + C;

D. 3x.sin x - 3cos x.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int f (x) d x = \int 3 x \cos x d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = 3 x \Rightarrow d u = 3 d x \\ d v = \cos x d x \Rightarrow v = \sin x \end{matrix}$

Khi đó: $\int 3 x \cos x d x = 3 x \sin x - \int 3 \sin x d x$

= 3x.sinx + 3cos x + C.

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0; 2; 0) và song song với đường thẳng $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{4}$ là

A. $\frac{x}{2} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z}{4};$

B. $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4};$

C. $\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{4};$

D. $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng đi qua điểm M(0; 2; 0) và song song với đường thẳng $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{4}$ nên nhận (2; 3; 4) làm véc-tơ chỉ phương là:

$\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{4} .$

Câu 37:

Nếu hàm số f (x) thỏa mãn

\int_{0}^{4} f (x) d x = 6

thì

\int_{0}^{2} f (2 x) d x

A. 2;

B. -3;

C. 3;

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt u = 2x Þ du = 2 dx

Đổi cận:

+) x = 0 Þ u = 0

+) x = 2 Þ u = 4

Từ đó suy ra $\int_{0}^{2} f (2 x) d x$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{4} f (u) d u = \frac{1}{2} .6 = 3.$

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 0) và vuông góc với đường thẳng

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{4}

là

A. 2x + y + 4z + 4 = 0;

B. 2x + y + 4z - 4 = 0;

C. 2x + y + 4z = 0;

D. 2x + y + z = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 0) và vuông góc với đường thẳng $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{4}$ nên nhận (2; 1; 4) làm véc-tơ pháp tuyến là

2(x - 1) + y + 2 + 4z = 0

Û 2x + y + 4z = 0.

Câu 39:

Trong không gian Oxyz cho mặt phăng (P): x + 2y - 2z - 6 = 0. Phương trình của mặt cầu có tâm O và tiếp xúc với (P) là

A. x² + y² + z² = 4;

B. x² + y² + z² = 36;

C. x² + y² + z² = 2;

D. x² + y² + z² = 6.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình của mặt cầu có tâm O tiếp xúc với (P) nên bán kính của mặt cầu chính là khoảng cách từ O đến (P)

$R = d_{I / (P)} = \frac{|- 6|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{6}{3} = 2$

Vậy suy ra phương trình của mặt cầu có tâm O và tiếp xúc với (P) là

x² + y² + z² = 4.

Câu 40:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y + 2z - 1 = 0. Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với (P) là

A. x - 2z = 0;

B. 2y - z = 0;

C. 2y + z = 0;

D. 2y - z + 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Trục Ox có một véc-tơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 0; 0)$

Ta có một véc-tơ chỉ phương là $\vec{n_{P}} = (1; 1; 2)$

Phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với (P) nên véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với một véc-tơ chỉ phương của Ox và một véc-tơ chỉ phương

$\Rightarrow \vec{n} = [\vec{u}; \vec{n_{P}}] = (|\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}|)$

= (0; -2; 1)

Phương trình của mặt phẳng đi qua O và có véc-tơ pháp tuyến (0; -2; 1) là

- 2y + z = 0

Û 2y - z = 0.

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(0; -2; 3), cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P): x - y + z + 1 = 0 có phương trình là

A. $\frac{x}{5} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 3};$

B. $\frac{x}{5} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 3}{- 3};$

C. $\frac{x}{5} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 3};$

D. $\frac{x}{5} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có đường thẳng cần tìm luôn cắt trục Ox tại điểm M(m; 0; 0)

$\Rightarrow \vec{A M} = (m; 2; - 3)$

+) $\vec{n_{P}} = (1; - 1; 1)$

Đường thẳng đi qua A, M và song song với (P) nên suy ra

$\vec{A M} ⊥ \vec{n_{P}} \Rightarrow \vec{A M} . \vec{n_{P}} = 0$

Þ m - 2 - 3 = 0 Û m = 5

Vậy suy ra $\vec{A M} = (5; 2; - 3)$

Đường thẳng đi qua điểm A(0; -2; 3) và có véc-tơ chỉ phương $\vec{A M} = (5; 2; - 3)$ là

$\frac{x}{5} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 3} .$

Câu 42:

Cho số phức z thỏa mãn |2z + i| = |z + 2i|. Giá trị lớn nhất của |2z - 1| bằng

A. 2;

B. 4;

C. 3;

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Gọi số phức z = a + bi (a, b Î ℝ)

Ta có: |2z + i| = |z + 2i|

Û |2a + 2bi + i| = |a + bi + 2i|

Û (2a)² + (2b + 1)² = a² + (b + 2)²

Û 4a² + 4b² + 4b + 1 = a² + b² + 4b + 4

Û 3a² + 3b² = 3

Û a² + b² = 1

Û b² = 1 - a² ³ 0

Þ a² £ 1 Þ -1 £ a £ 1

+) |2z - 1| = |2a + 2bi - 1|

$= \sqrt{{(2 a - 1)}^{2} + {(2 b)}^{2}} = \sqrt{4 a^{2} + 4 b^{2} - 4 a + 1}$

$= \sqrt{4 - 4 a + 1} = \sqrt{5 - 4 a}$

Để |2z - 1| đạt GTLN thì $\sqrt{5 - 4 a}$ đạt GTLN

Mà -1 £ a £ 1 $\Rightarrow \sqrt{5 - 4 a} \leq \sqrt{5 - 4. (- 1)} = 3$

Vậy giá trị lớn nhất của |2z - 1| bằng 3.

Câu 43:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; -1; 0) và B(1; 2; 1). Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với AB là

A. 3y + z + 3 = 0;

B. y + z + 1 = 0;

C. 3y + z - 3 = 0;

D. x + y + z = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{A B} = (0; 3; 1)$ .

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với AB nên nhận $\vec{A B} = (0; 3; 1)$ làm véc-tơ pháp tuyến là

3(y + 1) + z = 0

Û 3y + z + 3 = 0.

Câu 44:

Cho số thực a > 1. Khi đó $\int_{0}^{a} \frac{2}{2 x + 1} d x$ bằng

A. ln |2a – 1|;

B. ln (2a + 1);

C. 2ln (2a + 1);

D. 2ln |2a – 1|.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int_{0}^{a} \frac{2}{2 x + 1} d x = \ln {|2 x + 1||}_{0}^{a}$

= ln |2a + 1| = ln (2a + 1) (với a > 1).

Câu 45:

Trong không gian Oxyz cho điểm A(0; 1; 1). Góc giữa đường thẳng OA và trục Oy bằng

A. 90°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 60°.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Véc tơ chỉ phương của trục Oy là $\vec{u} = (0; 1; 0)$

Và $\vec{O A} = (0; 1; 1)$

Ta có:

$\cos (O y, O A) = \frac{|\vec{u} . \vec{O A}|}{|\vec{u}| . |\vec{O A}|} = \frac{|0.0 + 1.1 + 0.1|}{1. \sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy nên góc giữa hai đường thẳng là 45°.

Câu 46:

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}; d_{2} : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}$ · Phương trình của đường thẳng song song với d₁, cắt d₂ và cắt trục Oz là

A. $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1};$

B. $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1};$

C. $\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1};$

D. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phương trình của đường thẳng luôn cắt trục Oz tại điểm M(0; 0; m) và song song với d₁ có dạng

$d : \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - m}{1}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = t \\ z = m + t \end{matrix}$ (1)

Gọi A là giao của d và d₂ Þ A(2t; t; m + t) Î d₂

$\Rightarrow \frac{2 t}{2} = \frac{t - 1}{2} = \frac{m + t}{1}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} t = \frac{t - 1}{2} \\ t = m + t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t = - 1 \\ m = 0 \end{matrix}$

Vậy suy ra $d : \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} .$

Câu 47:

Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t (t là thời gian). Chiều dài đoạn đường của vật đi được trong khoảng thời gian 5 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng

A. 175 m;

B. 425 m;

C. 800 m;

D. 300 m.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương tình vận tốc chuyển động của vật là một nguyên hàm của gia tốc

$\Rightarrow v (t) = \int a (t) d t = \int 6 t d t = 3 t^{2} + C$

Vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc nên v (0) = C = 10

Þ v (t) = 3t² + 10

Chiều dài đoạn đường của vật đi được trong khoảng thời gian 5 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{5} v (t) d t = \int_{0}^{5} (3 t^{2} + 10) d t$

$= {(t^{3} + 10 t)|}_{0}^{5} = 5^{3} + 10.5 = 175 m .$

Câu 48:

Cho số phức z thỏa mãn $\frac{1}{|z| - z}$ có phần thực bằng 18. Môđun của z bằng

A. $2 \sqrt{2};$

B. 4;

C. 8;

D. 16.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi z = a + bi

Điều kiện |z| - z ¹ 0 Þ b ¹ 0

$\Rightarrow w = \frac{1}{|z| - z} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a - b i}$

$= \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a + b i}{(\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a - b i) (\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a + b i)}$

$= \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a + b i}{{(\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a)}^{2} + b^{2}}$

w có phần thực là $\frac{1}{8}$ nên suy ra

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{{(\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a)}^{2} + b^{2}} = \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{a^{2} + b^{2} - 2 a \sqrt{a^{2} + b^{2}} + a^{2} + b^{2}} = \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{2 (a^{2} + b^{2}) - 2 a \sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} (\sqrt{a^{2} + b^{2}} - a)} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 16$

Môđun của z bằng $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{16} = 4.$

Câu 49:

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z² - 2mz + 7m - 6 = 0, với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó cho có hai nghiệm phân biệt z₁; z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂|?

A. 4;

B. 5;

C. 6;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Để phương trình đó cho có hai nghiệm phân biệt z₁; z₂ thỏa mãn |z₁| = |z₂| thì xét

z² - 2mz + 7m - 6 = 0 (1)

Ta có: D' = m² - 7m + 6 = (m - 1)(m - 6)

+) TH1: D' > 0 Þ (m - 1)(m - 6) > 0 Þ m < 1 hoặc m > 6

Thì phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt z₁; z₂

Vậy |z₁| = |z₂| Û z₁² = z₂²

Û (z₁ − z₂)(z₁ + z₂) = 0

Do z₁; z₂ là hai nghiệm phân biệt nên suy ra

Þ (z₁ + z₂) = 0

Theo Vi-ét: z₁ + z₂ = 2m = 0 Û m = 0 (thỏa mãn)

Vậy TH1 có 1 giá trị của m

+) TH2: D' < 0 Þ (m - 1)(m - 6) < 0 Þ 1 < m < 6

Thì phương trình (1) có hai nghiệm phức phân biệt z₁; z₂

Với $z_{1} = \frac{- b^{'} + i \sqrt{- Δ^{'}}}{a^{'}} = m + i \sqrt{- (m^{2} - 7 m + 6)}$

Và $z_{2} = \frac{- b^{'} - i \sqrt{- Δ^{'}}}{a^{'}} = m - i \sqrt{- (m^{2} - 7 m + 6)}$

Þ |z₁| = |z₂| luôn đúng với mọi m Î (1; 6)

Vậy TH2 có 4 giá trị của m

Vậy tất cả có 5 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 50:

Cho số thực a > 3. Khi đó $\int_{1}^{a} 8 x \ln x d x$ bằng

A. 4a².ln a - 2a² + 2;

B. 4a².ln a + 2a² + 2;

C. 4a².ln a + 2a² - 2;

D. 4a².ln a - 2a² - 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $\{\begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x \\ d v = 8 x d x \Rightarrow v = 4 x^{2} \end{matrix}$

Từ đó suy ra

$\int_{1}^{a} 8 x \ln x d x = {4 x^{2} \ln x|}_{1}^{a} - \int_{1}^{a} 4 x d x$

$= {(4 x^{2} \ln x - 2 x^{2})|}_{1}^{a} = 4 a^{2} . \ln a - 2 a^{2} + 2.$