Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 15
-
4243 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng (△): = = đi qua điểm nào dưới đây?
Đáp án đúng là B
Thay tọa độ (1; −2; 0) vào phương trình đường thẳng (△): = = ta được: = = = 0
Vậy nên điểm có tọa độ là (1; −2; 0) thuộc đường thẳng (△).
Câu 2:
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và đường thẳng x = b (phần tô đậm trong hình vẽ) quay quanh trục Ox được tính theo công thức nào dưới đây?
Đáp án đúng là C
Khối tròn xoay tạo bởi: Đường thẳng y = f (x), trục hoành y = 0, x = a; x = b. Khi đó, công thức tính thể tích là:
V = π
Vậy nên thể tích V của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và đường thẳng x = b (phần tô đậm trong hình vẽ) quay quanh trục Ox được tính theo công thức sau đây:
V = π .
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho = (2; −1; 3). Tọa độ của vectơ 2 là
Đáp án đúng là C
Tọa độ của vectơ 2 là: 2 = (2.2; 2.(−1); 2. 3) = (4; −2; 6) .
Câu 4:
Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức z có điểm biểu diễn là M (3; −4). Số phức nghịch đảo của số phức z 1à
Đáp án đúng là D
Ta có: z = 3 − 4i vậy nên:
=
=
=
= + i
Câu 5:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z = 2 – i?
Đáp án đúng là C
Điểm biểu diễn số phức z = 2 – i là điểm M (2; –1).
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y − 4z + 7 = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) 1à
Đáp án đúng là B
Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Vậy nên mặt phẳng (P): 2x + 3y − 4z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) 1à = (2; 3; −4).
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 3x + 2y − z + 1 = 0 và (α'): 3x + 2y − z − 1 = 0. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) và (α ') là
Đáp án đúng là B
Xét hai mặt phẳng ta có: = = ≠
Vậy nên hai mặt phẳng (α) và (α ') song song với nhau.
Câu 8:
Cho hai số phúc z1 = 5 – 6i và z2 = 2 + 3i. Số phức 3z1 − 4z2 bằng:
Đáp án đúng là A
Ta có: 3z1 − 4z2 = 3. (5 – 6i) – 4. (2 + 3i)
= 12 – 18i – 8 – 12i
= 7 − 30i.
Câu 9:
Đáp án đúng là B
Ta có: F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên
= = F (1) – F (0) = 3 – 1 = 2.
Câu 10:
Cho hai số phức z1 = 2i, z2 = 3 – 2i. Tìm số phức w =
Đáp án đúng là C
Ta có: w = =
=
=
= + i.
Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): = = ,vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?
Đáp án đúng là B
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng được xác định khi biết một điểm nó đi qua và một vectơ chỉ phương (VTCP). Giả sử đường thẳng d đi qua điểmM(x0; y0; z0)và có vectơ chỉ phương là = (a; b; c) thì d sẽ có phương trình chính tắc là
Vậy nên vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: = (1; 3; –2).
Câu 12:
Đáp án đúng là B
Vì đường thẳng đi qua hai điểm M (1; –2; 0) và N (3; 1; 1) nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là: = = (3 – 1; 1 – (–2); 1 – 0) = (2; 3; 1).
Câu 13:
Cho hai số phúc z1 = 1 + i và z2 = 1 + 2i . Phần ảo của số phức w = z1.z2 là
Đáp án đúng là C
Ta có: w = z1 . z2 = (1 + i). (1 + 2i) = 1 + 2i + i + 2i2 = 1 – 2 + 3i = – 1 + 3i
Vậy nên phần ảo của số phức w = z1 . z 2 là 3.
Câu 15:
Đáp án đúng là C
Đặt u = x du = dx
dv = exdx v = ex + C
Chọn C = 0 v = ex
Do đó: I = = –
= e –
= e – (e – 1)
= 1.
Câu 16:
Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x2 là
Đáp án đúng là D
Ta có: = + C
Vậy nên: = + C.
Câu 17:
Đáp án đúng là C
Ta có: z = a + bi có phần thực bằng a và phần ảo bằng b
Do đó z = 5 + 7i có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7.
Câu 18:
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [2; 5]. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [2; 5] thì bằng
Đáp án đúng là D
Do F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [2; 5] nên
=
= F (5) – F (2).
Câu 19:
Mệnh đề nào dưới đây sai?
Đáp án đúng là B
Theo tính chất của nguyên hàm thì:
+ = f (x) + C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên ℝ. Vậy nên đáp án A đúng
+ = k với mọi hằng số k ≠ 0 và với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên ℝ. Do đó B sai. Vậy nên chọn B
+ = – với mọi hàm f (x), g (x) có đạo hàm trên ℝ. Vậy nên C đúng
+ = + với mọi hàm f (x), g (x) có đạo hàm trên ℝ. Vậy nên D đúng.
Câu 21:
Đáp án đúng là B
Ta có: Tích vô hướng của hai vectơ và bằng:
. = 1.0 + (–2). (–1) + 3.2 = 8.
Câu 22:
Cho số phức z = 2(4 – 3i). Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
Đáp án đúng là B
Ta có: z = 8 – 6i. Vậy nên số phức zcó phần thực bằng 8, phần ảo bằng –6
Do đó đáp án B là Số phức zcó phần thực bằng 8, phần ảo bằng 6i sai.
Câu 23:
Cho số phức z thỏa mãn (2i + 1)z + 10i = 5 . Khi đó z bằng:
Đáp án đúng là A
Ta có: (2i + 1) z + 10i = 5
z =
=
=
=
=
= –3 – 4i .
Câu 24:
Trong tập số phức C. Phương trình bậc hai nào dưới đây nhận hai số phức 2 – 3i và 2 + 3i làm nghiệm?
Đáp án đúng là D
Ta có: z1 + z2 = 2 – 3i + 2 + 3i = 4 = – b = – 4a (1)
z1.z2 = (2 – 3i). (2 + 3i) = 4 + 9 = 13 = (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình bậc hai nhận hai số phức 2 – 3i và 2 + 3i làm nghiệm là z2 – 4z + 13 = 0.
Câu 25:
Cho tích phân I = . Nếu đặt t = lnx thì
Đáp án đúng là C
Đặt t = lnx dt = dx
Đổi cận:
x |
1 |
e |
t |
0 |
1 |
I =
= .
Câu 26:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 8z + 1 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là:
Đáp án đúng là C
Ta có: x2 + y2 + z2 – 2x + 6y – 8z + 1 = 0
x2 – 2x + 1 + y2 + 6y + 9 + z2 – 8z + 16 + 1 – 1 – 9 – 16 = 0
(x – 1)2 + (y + 3)2 + (z – 4)2 = 25 (1)
Từ (1) suy ra mặt cầu (S) có tâm I (1; –3; 4) và bán kính R = 5.
Câu 27:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 2 = 0 và điểm I (1; 2; –3). Bán kính của mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) bằng
Đáp án đúng là C
Vì mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là
R = d(I, (P)) = = 3.
Câu 28:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): và (d2): . Vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2) là
Đáp án đúng là B
= (2; –1; 1) là một VTCP của đường thẳng (d1)
= (2; –1; 1) là một VTCP của đường thẳng (d2)
M (2; 1; 3) là điểm thuộc đường thẳng (d1)
N (2; –1; 3) là điểm thuộc đường thẳng (d2)
Ta có: = (0; –2; 0)
= (–1.1 – 1.(–1); 1.2 – 2. 1; 2. (–1) – 2. (–1)) = (0; 0; 0) =
. = 0.0 + (–2).0 + 0.0 = 0
Vậy nên hai đường thẳng (d1) và (d2) trùng nhau.
Câu 30:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2– x và trục hoành là
Đáp án đúng là B
Ta có: Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 – x và trục hoành là
x2 – x = 0
x. (x – 1) = 0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 – x và trục hoành là
S =
Với x ∈ [0; 1] thì x2 – x < 0 nên | x2 – x| = –x2 + x
Do đó: S = =
=
= -+
=
Câu 31:
Cho số phức z = 3 – 4i. Phần thực và phần ảo của số phức lần lượt là
Đáp án đúng là D
Ta có: z = 3 – 4i vậy nên = 3 + 4i
Do đó phần thực và phần ảo của số phức lần lượt là 3 và 4.
Câu 32:
Đáp án đúng là C
Ta có: (2 + i)z = 9 – 8i
z =
=
=
=
=
= 2 – 5i
Câu 34:
Đáp án đúng là D
Đặt t = cosx dt = – sinxdx
Đổi cận:
x |
0 |
|
t |
1 |
0 |
= =
=
= e – 1.
Câu 35:
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2 + 2, y = 0, x = 1, x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là D
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là: V = π
Vậy nên đáp án D là mệnh đề đúng.
Câu 36:
Đáp án đúng là D
Đặt z = a + bi
Thay z = a + bi vào 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3i ta được:
2.(a + bi) – 3(1 + i) = i(a + bi) + 7 – 3i
2a + 2bi – 3 – 3i = ai + bi2 + 7 – 3i
2a + 2bi – 3i – ai – bi2 + 3i = 3 + 7
2a + 2bi – ai – bi2 = 3 + 7
(2b – a)i + 2a + b = 10
Vậy số phức z = 4 + 2i.
Câu 37:
Cho biết = aπ + b, với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a + b bằng:
Đáp án đúng là A
Ta có: = –
= +
= 2π – 1
Vậy a = 2, b = – 1
Do đó a + b = 2 – 1 = 1.
Câu 38:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng (d): = = và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với (d). Phương trình của mặt phẳng (P) là:
Đáp án đúng là B
Vì A thuộc trục Ox nên A (a; 0; 0) với a ∈ ℝ; B thuộc Oy nên B (0; b; 0) với b ∈ ℝ.
⇒ = (–a; b; 0)
Ta lại có đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng (d) nên:
⇔ a = 2b
Do đó = (–2b; b; 0) = b (–2; 1; 0)
Lấy M (2; 1; 0) thuộc đường thẳng d nên cũng thuộc mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (2; 1; 0) và nhận làm VTPT là: 1(x – 2) + 2(y – 1) + 5(z – 0) = 0
⇔ x + 2y + 5z – 4 = 0.
Câu 39:
Đáp án đúng là B
Ta có: = 10
+ = 10
+ = 10
+ 23 – 20 = 10
= 10 – 8
=
Câu 40:
Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn z + 1 + 3i – |z|i = 0. Tính S = a + 3b.
Đáp án đúng là B
Ta có: z + 1 + 3i – |z|i = 0
a + bi + 1 + 3i – i = 0
(a + 1) + (b + 3 – )i = 0
(*)
b = –
Do đó S = a + 3b = 1 + 3. = – 5
Câu 41:
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex và hai đường thẳng x = 0, x = 1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là
Đáp án đúng là A
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là:
V = π = π
= π
= π.
= (e2 – 1).
Câu 42:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 0), B (2; 2; 2), C (–2; 3; 1) và đường thẳng (d): = = . Tìm điểm M thuộc (d) để thể tích V của tứ diện M.ABC bằng 3.
Đáp án đúng là A
Ta có: và
VTPT của mặt phẳng (ABC) là: = = (3; 6; – 6) = (1; 2; - 2)
Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A (0; 1; 0) nhận = (1; 2; –2) làm vectơ pháp tuyến có dạng: 1.(x – 0) + 2.(y – 1) – 2(z – 0) = 0
⇔ x + 2y – 2z – 2 = 0.
Ta có: SABC = , d (M, (ABC)) = = = 2
M ∈ d nên điểm M có tọa độ là M (1 + 2t; –2 – t; 3 + 2t) (1)
d (M, (ABC)) = 2 =
Lần lượt thay t vào (1) ta tìm được tọa độ điểm M là:
M ; M
Câu 43:
Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức z = – 1 – 4i. Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức z – ?
Đáp án đúng là D
Ta có: = – 1 + 4i
Vậy nên z – = – 1 – 4i – (–1 + 4i) = – 8i
Số phức z = a + bi có điểm biểu diễn là M (a; b)
Do đó điểm biểu diễn số phức z – = – 8i là M (0; –8).
Câu 44:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết mặt phẳng (P): ax + by + cz – 27 = 0, (a, b, c ∈ ℝ, a2 + b2 + c2 ≠ 0) đi qua hai điểm A (3; 2; 1), B (–3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c.
Đáp án đúng là A
Ta có: = (–3 – 3; 5 – 2; 2 – 1) = (–6; 3; 1), = (3; 1; 1)
Vì mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A (3; 2; 1), B (–3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0 vậy nên:
= = (3.1 – 1.1; 1.3 – (–6).1; (–6).1 – 3.3) = (2; 9; –15)
Do đó a = 2; b = 9; c = –15
Vậy nên S = a + b + c = 2 + 9 – 15 = – 4.
Câu 45:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng (d1): = = , (d2): = = và (d3): = = . Đường thẳng song song với (d3), cắt (d1) và (d2) có phương trình là
Đáp án đúng là B
Gọi đường thẳng cần tìm là (d)
Gọi A là giao điểm của (d) và (d1) A (3 + 2t; –1 + t; 2 – 2t) ∈ (d1)
Gọi B là giao điểm của (d) và (d2) B (–1 + 3t ; –2t ; –4 – t ) ∈ (d2)
Vậy nên = = (3t – 2t – 4; –2t – t + 1; – t + 2t – 6)
= =
A (3; –1; 2), B (–1; 0; –4)
= = (–4; 1; –6)
Vậy đường thẳng (d) cần tìm là: = = .
Câu 46:
Cho đồ thị (C): y = f(x)= . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x = 9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị (C) và điểm A(9; 0). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trục Ox, V2 là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng V1 = 2 V2. Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM .
Đáp án đúng là B
Ta có: V1 = π = π
Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox, đặt OH = m (với 0 < m ≤ 9), ta có M (m; ), MH = và AH = 9 – m
Suy ra V2 = π.MH2.OH = π. MH2.AH = π.MH2.OA = 3mπ
Theo giả thiết, ta có: V1 = 2V2 nên π = 6mπ m = . Do đó M
Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là y = x
Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM là
S = =
= =
Câu 47:
Xét các số phức z = a + bi, (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn 4(z – ) – 15i = i(z + – 1)2. Tính F = a + 4b khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án đúng là D
Ta có: 4(z – ) – 15i = i(z + – 1)2
4(2bi) – 15i = i(2a – 1)2
8b – 15 = (2a – 1)2
P2 = + (b + 3)2 = 2b – + b2 + 6b + 9 = b2 + 8b + = (b + 4)2 –
P2 min khi b = a =
Vậy nên F = a + 4b = + 4. = 8.
Câu 48:
Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn điều kiện 2f (x) – 3f (1 –x) = x . Tính tích phân I = .
Đáp án đúng là D
Áp dụng công thức: I = = ta có:
I = = = – = – .
Câu 49:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 10y – 2z – 6 = 0. Cho m là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình y = m và x + z – 3 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S). Tích tất cả các giá trị mà m có thể nhận được bằng:
Đáp án đúng là B
Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 10y – 2z – 6 = 0 có tâm I (2; –5; 1) và bán kính R = 6
Đặt (P): y = m và (Q): x + z – 3 = 0
Gọi d = (P) ⋂ (Q)
Chọn A (0; m; 3) ∈ (P) ⋂ (Q) và B (1; m; 2) ∈ (P) ⋂ (Q)
Ta có: AB qua A (0; m; 3) và có VTCP = (1; 0; –1)
= (–2; m + 5; 2)
| , | = (–m – 5; 0; –m – 5)
Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
d(I, d) = R = 6
=6
m2 + 10m – 11 = 0
Vậy tích m1.m2 = – 11.
Câu 50:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; 3; 1), B (0; 2; 1) và mặt phẳng (α): x + y + z – 7 = 0. Đường thẳng (d) nằm trên (α) sao cho mọi điểm của (d) cách đều hai điểm A, B có phương trình là
Đáp án đúng là C
Mọi điểm nằm trên đường thẳng d đề cách đều hai điểm A, B nên đường thẳng d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên M
Ta có:
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB đi qua điểm M và nhận làm VTPT, ta có:
⇔ 3x + y – 7 = 0
Đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (α) nên ta có điểm thuộc đường thẳng d có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình:
Đặt x = t, khi đó y = – 3t + 7, z = 2t
Hay đường thẳng d có phương trình tham số là: .