50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 6

Câu 1:

Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. F '(x) = f '(x) + C;

B. |F (x) + C|' = f (x);

C. f '(x) = F (x) + C;

D. F (x) = f (x) + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số

Khi đó ta có:

$\int f (x) d x = F (x) + C$

Þ |F (x) + C|' = f (x)

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, tâm và bán kính của mặt cầu (S): (x - 1)² + y² + (z + 2)² = 4 là

A. I(1; 0; -2), R = 2;

B. I(1; 0; 2), R = 2;

C. I(-1; 0; 2), R = 4;

D. I(1; 0; -2), R = 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong không gian Oxyz, tâm và bán kính của mặt cầu (S): (x - 1)² + y² + (z + 2)² = 4 lần lượt là: I(1; 0; -2) và R = 2.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$ là

A. -ln|x| + C;

B. ln|x| + C;

C. $- \frac{1}{x^{2}} + C;$

D.

\frac{1}{x^{2}} + C .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x}$ là

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C .$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 4:

Giá trị của $\int_{0}^{1} (2 x + e^{x}) d x$ bằng

A. e - 1;

B. -e;

C. e;

D. e + 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int_{0}^{11} (2 x + e^{x}) d x = {(x^{2} + e^{x})|}_{0}^{1}$

= 1² + e¹ - 0² – e⁰ = 1 + e - 1 = e.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (- 1; 2; - 3)$ và $\vec{b} = (- 2; 4; 5)$ . Giá trị của $\vec{a} . \vec{b}$ bằng

A. -16;

B. 16;

C. -5;

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Với $\vec{a} = (- 1; 2; - 3)$ và $\vec{b} = (- 2; 4; 5)$ ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = (- 1) . (- 2) + 2.4 + (- 3) .5 = - 5.$

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1) và song song với đường thẳng $Δ : \{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 3 t \\ z = 2 + 4 t \end{matrix}$ có phương trình là

A. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{4};$

B. $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 1}{4};$

C. $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{4};$

D. $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 1}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $Δ : \{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 3 t \\ z = 2 + 4 t \end{matrix}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; - 3; 4)$

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1) và song song với đường thẳng D nên nhận $\vec{u} = (1; - 3; 4)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

$\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 1}{4} .$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(-1; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; 0; - 5)$ là

A. 4x - 5z + 4 = 0;

B. 4x - 5z - 4 = 0;

C. 4x - 5y + 4 = 0;

D. 4x - 5y - 4 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(-1; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến

\vec{n} = (4; 0; - 5)

là

4(x + 1) - 5z = 0

Û 4x - 5z + 4 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 8:

Nghiệm của phương trình z² - 2z + 5 = 0 là

A. -2 + i và -2 - i;

B. 2 + i và 2 - i;

C. -1 + 2i và -1 - 2i;

D. 1 + 2i và 1 - 2i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình: z² - 2z + 5 = 0

Û z² - 2z + 1 = -4

Û (z - 1)² = 4i²

$\Rightarrow [\begin{matrix} z - 1 = 2 i \\ z - 1 = - 2 i \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} z = 1 + 2 i \\ z = 1 - 2 i \end{matrix}$

Do đó phương trình z² - 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là 1 + 2i và 1 - 2i.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 9:

Cho số phức z thỏa mãn 2z + (1 + i) = (5 - 2i)(1 - i). Môđun của số z bằng

A. $\sqrt{15};$

B. $\sqrt{17};$

C. 15;

D. 17.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

2z + (1 + i) = (5 - 2i)(1 - i)

Û 2z + 1 + i = 5 - 2i - 5i + 2i²

Û 2z = 5 - 2i - 5i - 2 - 1 - i

Û 2z = 2 - 8i

Û z = 1 - 4i

Khi đó Môđun của số z bằng $|z| = \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{17}$ .

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 10:

Số phức liên hợp của số phức z = 2021 - 2022i là

A. -2021 - 2022i;

B. 2022 + 2021i;

C. 2021 + 2022i;

D. -2021 + 2022i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số phức liên hợp của số phức z = 2021 - 2022i là

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I(-1; -2; 3) và bán kính R = 2 là

A. (x + 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 2;

B. (x - 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 2;

C. (x - 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 4;

D. (x + 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu có tâm I(-1; -2; 3) và bán kính R = 2 là

(S): (x + 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(3; 4; 5) đến mặt phẳng (P): 3x - 4y + 12z - 14 = 0 bằng

A. 3;

B. 6;

C. $\frac{85}{13};$

D.

\frac{53}{13} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M(3; 4; 5) đến mặt phẳng (P): 3x - 4y + 12z - 14 = 0 bằng

$d_{M / (P)} = \frac{|3 x_{M} - 4 y_{M} + 12 z_{M} - 14|}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} + 12^{2}}}$

$= \frac{|3.3 - 4.4 + 12.5 - 14|}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} + 12^{2}}} = 3.$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 13:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ và $\int_{- 2}^{4} f (x) d x = 12$ . Giá trị của $\int_{1}^{2} f (6 x - 8) d x$ bằng

A. -2;

B. -72;

C. 2;

D. 72.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt u = 6x - 8

Þ du = 6.dx

Đổi cận:

x	1	2
u	–2	4

Þ $\int_{1}^{2} f (6 x - 8) d x$ = $\int_{- 2}^{4} \frac{1}{6} f (u) d u = \frac{1}{6} \int_{- 2}^{4} f (u) d u$

$= \frac{1}{6} \int_{- 2}^{4} f (x) d x = \frac{1}{6} .12 = 2.$

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 14:

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý khác 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x;$

B. $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{b}^{a} f (x) d x;$

C. $\int_{a}^{b} k f (x) d x = \int_{a}^{b} f (k x) d x;$

D. $\int_{a}^{b} k f (x) d x = \int_{b}^{a} f (k x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý khác 0 nên ta có:

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 15:

Nếu đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}$ thì $\int x \sqrt{x^{2} + 1} d x$ trở thành

A. $\int 2 t d t;$

B. $\int t d t;$

C. $\int 2 t^{2} d t;$

D. $\int t^{2} d t .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1}$

Þ t² = x² + 1

Þ 2t dt = 2x dx

Û t dt = x dx

Khi đó

$\int x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int t . t d t = \int t^{2} d t .$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 16:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1 - x², trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành bằng

A. $\frac{4}{3};$

B. $\frac{16 π}{15};$

C. $\frac{16}{15};$

D. $\frac{4 π}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành là

$V = π \int_{- 1}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x = π \int_{- 1}^{1} (1 - 2 x^{2} + x^{4}) d x$

$= {π (x - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5})|}_{- 1}^{1}$

$= π [1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} - (- 1 - \frac{2. (- 1)}{3} + \frac{(- 1)}{5})]$

$= π (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) = \frac{16 π}{15} .$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 17:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

A. $S = \int_{a}^{b} f (x) d x;$

B. $S = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x;$

C. $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x;$

D. $S = \int_{b}^{a} |f (x)| d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

$S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x .$

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 18:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³, trục Ox và hai đường thẳng x = -2, x = 0 có diện tích bằng

A. 16;

B. 4;

C. 2;

D. 8.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³, trục Ox và hai đường thẳng x = -2, x = 0 có diện tích bằng

$S = \int_{- 2}^{0} |x^{3}| d x = - \int_{- 2}^{0} x^{3} d x = {- \frac{x^{4}}{4}|}_{- 2}^{0} = 0 - [- \frac{{(- 2)}^{4}}{4}] = 4.$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 19:

Biết z₁ = 2 - 3i là một nghiệm của phương trình z² + bz + c = 0 với b, c là các số thực. Giá trị của b + c bằng

A. 9;

B. -5;

C. -1;

D. 13.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

z₁ = 2 - 3i là một nghiệm của phương trình z² + bz + c = 0 nên nghiệm còn lại của phương tình đó là z₂ = 2 + 3i

Theo hệ thức Viet ta có:

$\{\begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - b \\ z_{1} . z_{2} = c \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - b = (2 - 3 i) + (2 + 3 i) \\ c = (2 - 3 i) . (2 + 3 i) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - b = 4 \\ c = 2^{2} + 3^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} b = - 4 \\ c = 13 \end{matrix}$

Giá trị của b + c là b + c = (-4) + 13 = 9.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 20:

Gọi z₁, z₂, z₃, z₄ là các nghiệm của phương trình z⁴ - 2z² - 8 = 0. Giá trị của |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² + |z₄|² bằng

A. 16;

B. 8;

C. 4;

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình: z⁴ - 2z² - 8 = 0

Û z⁴ - 2z² + 1 = 9

Û (z² - 1)² = 9

$\Rightarrow [\begin{matrix} z^{2} - 1 = 3 \\ z^{2} - 1 = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} z^{2} = 4 \\ z^{2} = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} z = 2 \\ z = - 2 \\ z = \sqrt{2} i \\ z = - \sqrt{2} i \end{matrix}$

Khí đó, giá trị của |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² + |z₄|² bằng

$2^{2} + {(- 2)}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{2} = 12.$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 21:

Phần ảo của số phức z = 2 + i là

A. -2;

B. 1;

C. 2;

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Phần ảo của số phức z = 2 + i là 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(-2; 3; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0 có phương trình là

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 - 2 t \\ z = - 5 + 2 t \end{matrix};$

B. $\{\begin{matrix} x = - 1 - 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = - 2 + 5 t \end{matrix};$

C. $\{\begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 5 + 2 t \end{matrix};$

D. $\{\begin{matrix} x = - 1 - 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = - 2 + 5 t \end{matrix} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; - 2; 2)$

Đường thẳng đi qua điểm A(-2; 3; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận $\vec{n} = (1; - 2; 2)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

$\{\begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 5 + 2 t \end{matrix} .$

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?

A. x² + y² - z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0;

B. x² + y² + 2z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0;

C. x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0;

D. x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z + 3 = 0;

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

• Xét phương án A: x² + y² - z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) - (z² + 2z + 1) = 2

Û (x - 1)² + (y - 1)² - (z + 1)² = 2

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu

• Xét phương án B: x² + y² + 2z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (2z² - 2z + 1) = 4

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (2z² - 2z + 1) = 4

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu

• Xét phương án C: x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 4

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 4

Vậy phương trỉnh trên là phương trình mặt cầu tâm I(1; 1 ; 1) và bán kính R = 2.

• Xét phương án D: x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z + 3 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 0

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 0

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu do R = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Nhận xét nhanh:

Trong 4 phương án ta thấy:

• Phương án C có dạng phương trình tổng quát với hệ số của x², y², z² đều bằng 1 và hệ số tự do d = –1 < 0 nên chắc chắn là phương trình mặt cầu.

• Phương án A không có dạng phương trình tổng quát do có hệ số của z² bằng –1 nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

• Phương án B không có dạng phương trình tổng quát do có hệ số của z² (bằng 2) khác hệ số của x², y² (bằng 1) nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

• Phương án D có dạng phương trình tổng quát và có $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2} - 3} = 0$

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

Câu 24:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn x - 2y + (3x + y)i = 2 + 13i. Giá trị của x - 2y bằng

A. -6;

B. -2;

C. 6;

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình: x - 2y + (3x + y)i = 2 + 13i

Nên suy ra x - 2y = 2 (phần thực)

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; -1), B(3; 2; -1) và C(1; 1; 2). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

A. (3; -3; 1);

B. (3; 3; 1);

C. (-3; 3; 1);

D. (3; -3; -1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Với A(2; 1; -1), B(3; 2; -1) và C(1; 1; 2) ta có:

$\vec{A B} = (1; 1; 0),$ $\vec{A C} = (- 1; 0; 3)$

$\Rightarrow [\vec{A B}; \vec{A C}]$

$= (|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & 1 \\ 3 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}|)$

= (3; -3; 1)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) vuông góc với cả hai vectơ

\vec{A B} = (1; 1; 0),

\vec{A C} = (- 1; 0; 3)

nên ta có:

\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{A C}]

= (3; -3; 1)

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là (3; -3; 1).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 26:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x² + 4 và y = -x + 2 bằng

A. $\frac{8}{3};$

B. $\frac{9}{2};$

C. 9;

D. $\frac{5}{7} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = -x² + 4 và y = -x + 2 là nghiệm của phương trình

-x² + 4 = -x + 2

Û x² - x - 2 = 0

Û x² - 2x + x - 2 = 0

Û x(x - 2) + (x - 2) = 0

Û (x - 2)(x + 1) = 0

$\Rightarrow [\begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 \\ x = - 1 \end{matrix}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x² + 4 và y = -x + 2 bằng

$S = \int_{- 1}^{2} |- x^{2} + 4 + x - 2| d x = \int_{- 1}^{2} |- x^{2} + x + 2| d x$

$= \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = {(\frac{- x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x)|}_{- 1}^{2}$

$= (\frac{- 2^{3}}{3} + \frac{2^{2}}{2} + 2.2) - (\frac{- {(- 1)}^{3}}{3} + \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2. (- 1))$

$= \frac{10}{3} - (\frac{- 7}{6}) = \frac{9}{2} .$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(-1; 2; 3), B(1; 4; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1 = 0 là

A. 3x - y - 2z + 11 = 0;

B. 5x - 3y - 4z + 23 = 0;

C. 3x + 5y + z - 10 = 0;

D. 3x - 5y - 4z + 25 = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1 = 0 là ${\vec{n}}_{(P)} = (1; - 1; 2)$

Với A(-1; 2; 3), B(1; 4; 2) ta có: $\vec{A B} = (2; 2; - 1)$

Þ $[\vec{A B}; \vec{n}]$ $= (|\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix}|)$

Þ $[\vec{A B}; \vec{n}]$ = (3; -5; -4)

Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) thì có vectơ pháp tuyến vuông góc với ${\vec{n}}_{(P)} = (1; - 1; 2)$ và $\vec{A B} = (2; 2; - 1)$ nên có vectơ pháp tuyến là:

$\vec{n} = [\vec{A B}; \vec{n}]$ = (3; -5; -4).

Phương trình mặt phẳng đi qua A(-1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; - 5; - 4)$

3(x + 1) - 5(y - 2) - 4(z - 3) = 0

Û 3x - 5y - 4z + 25 = 0

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 28:

Trong mặt phẳng Oxy, điểm M như hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức nào sau đây?

Media VietJack

A. -4 - 2i;

B. -2 - 4i;

C. -2 + 4i;

D. 4 - 2i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình vẽ ta thấy tọa độ của điểm M là M(4; -2)

Do đó M là điểm biểu diễn của số phức z = 4 - 2i.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 29:

Giá trị của $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x$ bằng

A. $\frac{π}{2} - 1;$

B. $\frac{π + 1}{2};$

C. $\frac{π - 1}{2};$

D. $\frac{π}{2} + 1.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt: $\{\begin{matrix} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = \cos x d x \Rightarrow v = \sin x \end{matrix}$

Þ $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x d x = {x \sin x|}_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$

$= \frac{π}{2} . \sin \frac{π}{2} - 0 + {\cos x|}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$= \frac{π}{2} - c o s \frac{π}{2}$ $= \frac{π}{2} - 1.$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 30:

Một ô tô đang chạy với vận tốc 8 m/s thì người lái xe đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t) = -2t + 8 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?

A. 6 m;

B. 16 m;

C. 32 m;

D. 8 m.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Khi ô tô dừng hẳn thì v (t) = -2t + 8 = 0 Û t = 4

Do đó ô tô còn đi thêm được 4s.

Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là

$s = \int_{0}^{4} v (t) d t = \int_{0}^{4} (- 2 t + 8) d t$

$= {(8 t - t^{2})|}_{0}^{4} = 8.4 - 4^{2} = 16 m .$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 31:

Cho hai số phức z₁ = 2 - 3i và z₂= 4 - 6i. Số phức z₁ - z₂ là

A. 2 + 3i;

B. -2 - 3i;

C. -2 + 3i;

D. 6 - 9i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số phức z₁ - z₂ là

z₁ - z₂ = (2 - 3i) - (4 - 6i) = -2 + 3i.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 32:

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = xe^x là

A. -xe^x + e^x + C;

B. -xe^x - e^x + C;

C. xe^x - e^x + C;

D. xe^x + e^x + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = xe^x là

$\int f (x) d x = \int x e^{x} d x$

Đặt: $\{\begin{matrix} u = x \Rightarrow d u = d x \\ d v = e^{x} d x \Rightarrow v = e^{x} \end{matrix}$

Khi đó:

$\int f (x) d x = \int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x$

= xe^x - e^x + C.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 33:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [-2; 2] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi S là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2.

Media VietJack

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \int_{- 2}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x;$

B. $S = - \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x;$

C. $S = - \int_{- 2}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x;$

D. $S = \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2 là

$S = \int_{- 2}^{2} |f (x)| d x = \int_{- 2}^{1} |f (x)| d x + \int_{1}^{2} |f (x)| d x$

$= - \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x .$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(6; -6; 6) và đường thẳng $Δ : \frac{x - 8}{2} = \frac{y + n}{4} = \frac{z - m}{- 3}$ với m, n là các tham số thực. Biết rằng điểm M thuộc đường thẳng D, giá trị m - n bằng

A. -1;

B. -5;

C. 1;

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Điểm M(6; -6; 6) thuộc đường thẳng D nên ta có

$\frac{x_{M} - 8}{2} = \frac{y_{M} + n}{4} = \frac{z_{M} - m}{- 3}$

$\Leftrightarrow \frac{6 - 8}{2} = \frac{- 6 + n}{4} = \frac{6 - m}{- 3}$

$\Leftrightarrow - 1 = \frac{- 6 + n}{4} = \frac{6 - m}{- 3}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} n - 6 = - 4 \\ 6 - m = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} n = 2 \\ m = 3 \end{matrix}$

Khi đó m - n = 3 - 2 = 1.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 3; -5) và B(3; 1; -3). Tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ là

A. (4; 4; -8);

B. (2; 2; -4);

C. (2; -2; 2);

D. (1; -1; 1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Với A(1; 3; -5) và B(3; 1; -3) ta có $\vec{A B}$ = (2; -2; 2).

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 36:

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x² + 2x + 1 là

A. 3x³ + x² + x + C;

B. x³ + x² + x + C;

C. x³ + x² + C;

D. x³ + 2x² + x + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x² + 2x + 1 là

$\int f (x) d x = \int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x$

= x³ + x² + x + C.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 37:

Môđun của số phức z = -3 + 4i bằng

A. 5;

B. 25;

C. 1;

D.

\sqrt{7} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Môđun của số phức z = -3 + 4i bằng

$|z| = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}} = 5.$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 38:

Phần thực của số phức z = (4 - i) + (1 + 4i) là

A. -3;

B. 3;

C. -5;

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: z = (4 - i) + (1 + 4i) = 5 + 3i

Do đó phần thực của số phức z là 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1), vuông góc với hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 3}{- 2} = \frac{y - 6}{2} = \frac{x - 1}{3}$ và $Δ_{2} : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = - t \\ z = 2 + 3 t \end{matrix}$ có phương trình là

A. $\frac{x}{7} = \frac{y + 1}{8} = \frac{z + 1}{- 2};$

B. $\frac{x - 1}{7} = \frac{y}{8} = \frac{z - 1}{- 2};$

C. $\frac{x}{7} = \frac{y - 1}{8} = \frac{z - 1}{- 2};$

D. $\frac{x}{7} = \frac{y - 1}{- 8} = \frac{z - 1}{- 2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 3}{- 2} = \frac{y - 6}{2} = \frac{x - 1}{3}$ có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1} = (- 2; 2; 1) .$

Đường thẳng $Δ_{2} : \{\begin{matrix} x = 2 t \\ y = - t \\ z = 2 + 3 t \end{matrix}$ có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{2} = (2; - 1; 3) .$

Đường thẳng cần tìm vuông góc với hai đường thẳng trên nên có vectơ chỉ phương vuông góc với hai vectơ $\vec{u_{1}} = (- 2; 2; 1), \vec{u_{2}} = (2; - 1; 3)$

$\Rightarrow \vec{u} = [\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}]$

$= (|\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 3 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix}|)$

= (7; 8; -2)

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là $\vec{u}$ = (7; 8; -2) nên có phương trình là:

$\frac{x}{7} = \frac{y - 1}{8} = \frac{z - 1}{- 2} .$

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 3x - 2y + 2z + 1 = 0 có tọa độ là

A. (3; -2; 2);

B. (3; 2; 2);

C. (3; -2; 1);

D. (3; 2; 1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 3x - 2y + 2z + 1 = 0 có tọa độ là (3; -2; 2).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ . Gọi D là đường thẳng song song với mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 và cắt hai đường thẳng d₁, d₂ lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng D là

A. $\{\begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix};$

B. $\{\begin{matrix} x = 6 - 2 t \\ y = \frac{5}{2} + t \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix};$

C. $\{\begin{matrix} x = 6 \\ y = \frac{5}{2} - t \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix};$

D. $\{\begin{matrix} x = \frac{9}{5} + 3 t \\ y = \frac{2}{5} + 6 t \\ z = - \frac{12}{5} + 10 t \end{matrix} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 1; 1)$

Điểm A thuộc $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ nên ta có A(1 + 2a; a; -2 - a).

Điểm B thuộc $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ nên ta có B(1 + b; -2 + 3b; 2 - 2b)

$\Rightarrow \vec{A B} = (b - 2 a; 3 b - a - 2; a - 2 b + 4)$

Ta có $\vec{n} ⊥ \vec{A B}$ (Vì D có vectơ chỉ phương là $\vec{A B}$ và song song với mặt phẳng (P))

$\Rightarrow \vec{n} . \vec{A B} = 0$

Þ b - 2a + 3b - a - 2 + a - 2b + 4 = 0

Û 2b - 2a + 2 = 0

Û 2a = 2b + 2

Û a = b + 1

Với $\vec{A B} = (b - 2 a; 3 b - a - 2; a - 2 b + 4)$ ta có:

$A B = \sqrt{{(b - 2 a)}^{2} + {(3 b - a - 2)}^{2} + {(a - 2 b + 4)}^{2}}$

$= \sqrt{{(b - 2 b - 2)}^{2} + {(3 b - b - 1 - 2)}^{2} + {(b + 1 - 2 b + 4)}^{2}}$

$= \sqrt{{(- b - 2)}^{2} + {(2 b - 3)}^{2} + {(- b + 5)}^{2}}$

$= \sqrt{b^{2} + 4 b + 4 + 4 b^{2} - 12 b + 9 + b^{2} - 10 b + 25}$

$= \sqrt{6 b^{2} - 18 b + 38} = \sqrt{6 (b^{2} - 3 b) + 38}$

$= \sqrt{6 (b^{2} - 2. \frac{3}{2} b + \frac{9}{4}) - 6. \frac{9}{4} + 38}$

$= \sqrt{6 {(b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{49}{2}}$

Vậy ta có $A B = \sqrt{6 {(b - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{49}{2}} \geq \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2}$

Do đó AB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $b - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}$

Þ $a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

Khi đó ta có $A (6; \frac{5}{2}; \frac{- 9}{2})$ và $\vec{A B} = (\frac{7}{2}; 0; \frac{- 7}{2}) = - \frac{7}{2} (- 1; 0; 1)$

Do đó đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (- 1; 0; 1)$

Phương trình đường thẳng D đi qua $A (6; \frac{5}{2}; \frac{- 9}{2})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 0; 1)$ là:

$Δ : \{\begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \end{matrix} .$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 42:

Biết rằng $\int \cos^{2} x d x = \frac{a x + b \sin 2 x}{m} + C$ với a, b và m là các số nguyên dương, C là hằng số. Giá trị của $\frac{a + b}{m}$ bằng

A. $\frac{3}{2};$

B. $\frac{4}{3};$

C. $\frac{5}{4};$

D. $\frac{3}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int \cos^{2} x d x = \int \frac{1 + \cos 2 x}{2} d x$

$= \int (\frac{1}{2} + \frac{2 \cos 2 x}{4}) d x$

$= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4} + C = \frac{2 x + \sin 2 x}{4} + C$

Mà $\int \cos^{2} x d x = \frac{a x + b \sin 2 x}{m} + C$

Khi đó: a = 2, b = 1, m = 4

$\Rightarrow \frac{a + b}{m} = \frac{2 + 1}{4} = \frac{3}{4} .$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 43:

Cho hàm số f (x) xác định trên

ℝ \ \{\frac{1}{2}\}

và

f' (x) = \frac{1}{2 x - 1}

thỏa mãn

f (2) = 3 + \frac{1}{2} \ln 3

. Giá trị của f (3) bằng

A. $\frac{1}{2} \ln 5 + 3;$

B. -2ln 5 + 5;

C. 2ln 5 + 3;

D. $\frac{1}{2} \ln 5 + 5.$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$f (x) = \int f' (x) d x = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

$= \frac{1}{2} \int \frac{2}{2 x - 1} d x = \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + C$

Þ f(2) = $\frac{1}{2}$ .ln|2.2 – 1| + C = $\frac{1}{2}$ ln3 + C

Mà $f (2) = 3 + \frac{1}{2} \ln 3$

Þ $\frac{1}{2} \ln 3 + C = 3 + \frac{1}{2} \ln 3 \Leftrightarrow C = 3$

Vậy $f (x) = \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + 3$

$\Rightarrow f (3) = \frac{1}{2} \ln 5 + 3.$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 44:

Trong mặt phẳng Oxy, biết rằng tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |z - 6i + 8| = 25 là một đường tròn tâm I(a; b). Giá trị của a + b bằng

A. 2;

B. -2;

C. 14;

D. -14.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi z = x + yi

Khi đó |z - 6i + 8| = 25

Û |x + yi – 6i + 8| = 25

Û |x + 8 + (y – 6)i| = 25

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 8)}^{2} + {(y - 6)}^{2}} = 25$

Û (x + 8)² + (y – 6)² = 625

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |z - 6i + 8| = 25 là một đường tròn tâm I(–8; 6).

Khi đó a + b = –8 + 6 = –2.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 45:

Cho hàm số f (x) liên tục trên ℝ thỏa mãn $f (x) = x^{2} + \int_{1}^{2} x f (x) d x$ . Giá trị của $\int_{0}^{2} x f (x) d x$ bằng

A. -11;

B. 11;

C. -7;

D. 19.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$f (x) = x^{2} + \int_{1}^{2} x f (x) d x$

$\Leftrightarrow x f (x) = x^{3} + x \int_{1}^{2} x f (x) d x$ (1) (Nhân hai vế của phương trình trên với x)

Đặt $\int_{1}^{2} x f (x) d x = t$ (Với t là một hằng số)

Phương trình (1) trở thành

Û xf (x) = x³ + xt

Lấy tích phân 2 vế của phương trình trên trên khoảng (1; 2) ta có

$\int_{1}^{2} x f (x) d x = \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} x t d x$

$\Rightarrow t = {\frac{x^{4}}{4}|}_{1}^{2} + {\frac{t x^{2}}{2}|}_{1}^{2}$

$\Leftrightarrow t = 4 - \frac{1}{4} + 2 t - \frac{t}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{t}{2} + \frac{15}{4} = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{15}{2}$

Vì xf (x) = x³ + xt

Þ f(x) = x² + t

Þ $f (x) = x^{2} - \frac{15}{2}$

$\Rightarrow \int_{0}^{2} x f (x) d x = \int_{0}^{2} x (x^{2} - \frac{15}{2}) d x$

$= \int_{0}^{2} (x^{3} - \frac{15}{2} x) d x = {(\frac{x^{4}}{4} - \frac{15 x^{2}}{4})|}_{0}^{2}$

$= \frac{2^{4}}{4} - \frac{{15.2}^{2}}{4} = - 11.$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ , mặt phẳng (P): 2x - z - 4 = 0 và mặt phẳng (Q): x - 2y - 2 = 0. Mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Bán kính của mặt cầu (S) bằng

A. $\sqrt{3};$

B. 5;

C. 3;

D.

\sqrt{5} .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ nên ta có tọa độ của I là:

I(m; m + 1; m + 2)

• Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): 2x - z - 4 = 0 là:

$d_{I / (P)} = \frac{|2 m - (m + 2) - 4|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{|m - 6|}{\sqrt{5}}$

• Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q): x - 2y - 2 = 0 là:

$d_{I / (Q)} = \frac{|m - 2 (m + 1) - 2|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{|- m - 4|}{\sqrt{5}} = \frac{|m + 4|}{\sqrt{5}}$

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:

$d_{I / (P)} = d_{I / (Q)} \Leftrightarrow \frac{|m - 6|}{\sqrt{5}} = \frac{|m + 4|}{\sqrt{5}}$

Û |m - 6| = |m + 4|

$\Rightarrow [\begin{matrix} m - 6 = m + 4 \\ m - 6 = - m - 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 0. m = 10 (v l) \\ 2 m = 2 \end{matrix}$

Û m = 1 (thỏa mãn)

Khi đó bán kính của mặt cầu là

$R = d_{I / (Q)} = \frac{|m + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{|1 + 4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} .$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 47:

Cho hai số phức z, w thỏa mãn |w - i| = 2 và z + 2 = iw. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Giá trị M + m bằng

A. 4;

B. 2;

C. 5;

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi z = x + yi

Ta có:

z + 2 = iw

Û z + 2 - i² = iw - i²

Û z + 2 + 1 = i(w - i)

Û z + 3 = i(w - i)

Mô-đun hai vế ta được

|z + 3| = |i(w - i)| = |i|.|w - i| = 2

Þ |x + yi + 3| = 2

Þ |x + 3 + yi| = 2

Þ (x + 3)² + y² = 4

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(-3; 0) và bán kính R = 2.

Ta có: |z| = OM

Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất khi M º M₁ và OM đạt giá trị lớn nhất khi M º M₂

Khi đó:

M = OM_max = OM₂ = 5

m = OM_min = OM₁ = 1

Suy ra M + m = 5 + 1 = 6.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình x² + y² + z² - 2(m + 2)x + 4my - 2mz + 7m² - 1 = 0 là phương trình mặt cầu. Số phần tử của S là

A. 5;

B. 7;

C. 4;

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình

x² + y² + z² - 2(m + 2)x + 4my - 2mz + 7m² - 1 = 0

Û [x² - 2(m + 2)x + (m + 2)²]+ [y² + 4my + 4m²] + [z² - 2mz + m²] = (m + 2)² + 4m² + m² - 7m² + 1

Û [x - (m + 2)]²+ [y + 2m]² + [z - m]² = -m² + 4m + 5

Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì

-m² + 4m + 5 > 0

Û -m² + 5m - m + 5 > 0

Û -m(m - 5) - (m - 5) > 0

Û (m + 1)(m - 5) < 0

Û -1 < m < 5

Do đó có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m Î {0; 1; 2; 3; 4}.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 49:

Cho hàm số f (x) liên tục trên [-2; 3] và đồ thị của y = f '(x) như hình vẽ bên dưới.

Media VietJack

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f (-2) > f (0) > f (3);

B. f (0) > f (-2) > f (3);

C. f (0) > f (3) > f (-2);

D. f (3) > f (0) > f (-2).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi S₁ và S₂ là diện tích được giới hạn bởi y = f'(x) và trục hoành trên các khoảng (-2; 0) và (0; 3)

$S_{1} = \int_{- 2}^{0} |f^{'} (x)| d x = \int_{- 2}^{0} f^{'} (x) d x {= f (x)|}_{- 2}^{0} = f (0) - f (- 2) > 0$

Þ f (0) > f (-2)

$S_{2} = \int_{0}^{3} |f^{'} (x)| d x = - \int_{0}^{3} f^{'} (x) d x {= - f (x)|}_{0}^{3} = f (0) - f (3) > 0$

Þ f (0) > f (3)

• Quan sát hình vẽ ta thấy S₁ < S₂

Þ f (0) - f (-2) < f (0) - f (3)

Û f (-2) > f (3)

Do đó f (0) > f (-2) > f (3).

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 50:

Ông Năm có một khu đất dạng hình chữ nhật với chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m. Ông Năm trồng rau sạch trên một mảnh vườn được giới hạn bởi hai parabol. Biết rằng mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai điểm đầu mút của cạnh dài đối diện (phần gạch sọc như hình vẽ minh họa).

Media VietJack

Biết chi phí trồng rau là 45 000 đồng/m². Hỏi ông Năm cần bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn) để trồng rau trên phần mảnh vườn đó?

A. 2 159 000 đồng;

B. 2 715 000 đồng;

C. 3 322 000 đồng;

D. 1 358 000 đồng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gán hình dạng mảnh vườn vào hệ tọa độ Oxy như hình trên.

Gọi hai parabol đó là (P) và (Q).

+) Parabol (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

• (P) có đỉnh là M(0; 4) nên thay vào phương trình (P) ta được c = 4.

• (P) đi qua C(8; -4), D(-8; -4) nên ta có:

$\{\begin{cases} 64 a + 8 b + 4 = - 4 \\ 64 a - 8 b + 4 = - 4 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{1}{8} \\ b = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow (P) : y = - \frac{1}{8} x^{2} + 4$

+) Tương tự parabol (Q) có đỉnh là N(0; -4) và đi qua B(8; 4), A(-8; 4) nên có phương trình là

$(Q) : y = \frac{1}{8} x^{2} - 4$

Hoành độ giao điểm của (P) và (Q) là nghiệm của phương trình:

$- \frac{1}{8} x^{2} + 4 = \frac{1}{8} x^{2} - 4$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} x^{2} = 8 \Leftrightarrow x^{2} = 32 \Leftrightarrow x = \pm 4 \sqrt{2}$

Diện tích đất trồng rau là

$S = \int_{- 4 \sqrt{2}}^{4 \sqrt{2}} |(- \frac{1}{8} x^{2} + 4) - (\frac{1}{8} x^{2} - 4)| d x$

$= \int_{- 4 \sqrt{2}}^{4 \sqrt{2}} |- \frac{1}{4} x^{2} + 8| d x = \int_{- 4 \sqrt{2}}^{4 \sqrt{2}} (- \frac{1}{4} x^{2} + 8) d x$

$= {(8 x - \frac{1}{12} x^{3})|}_{- 4 \sqrt{2}}^{4 \sqrt{2}}$

$= 8.4 \sqrt{2} - \frac{{(4 \sqrt{2})}^{3}}{12} - 8. (- 4 \sqrt{2}) + \frac{{(- 4 \sqrt{2})}^{3}}{12}$

$= 64 \sqrt{2} - \frac{64 \sqrt{2}}{3}$

$= \frac{128 \sqrt{2}}{3}$ (m)

Vậy chi phí để trồng rau trên mảnh vườn đó là:

$C = \frac{128 \sqrt{2}}{3} .45000 \approx 2715000$ (đồng)

Vậy ta chọn phương án B.