50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 8

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 3; - 2)$ và $\vec{v} = (2; 1; - 1)$ . Tọa độ của vectơ $\vec{u} - \vec{v}$ là

A. (-1; 2; -1);

B. (1; -2; 1);

C. (3; 4; -3);

D. (-1; 2; -3).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{u} - \vec{v} = (1; 3; - 2) - (2; 1; - 1) = (- 1; 2; - 1)$

Vậy suy ra tọa độ của vectơ $\vec{u} - \vec{v}$ là (-1; 2; -1).

Câu 2:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị ở hình bên. Số nghiệm của phương trình $f (x) = \frac{1}{2}$ là

Media VietJack

A. 3;

B. 1;

C. 2;

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta nhận thấy rằng với y = f (x) = a (a > 0) cho hai nghiệm phân biệt.

Vậy suy ra số nghiệm của phương trình $f (x) = \frac{1}{2}$ là 2 (do $a = \frac{1}{2} > 0$ ).

Câu 3:

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M (1; −1; 3) và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1; - 1)$ . Phương trình tham số của d là

A. $\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3 t \end{matrix};$

B. $\{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \end{matrix};$

C. $\{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \end{matrix};$

D. $\{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 3 - t \end{matrix};$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (1; −1; 3) và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1; - 1)$ là

$d : \{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \end{matrix} .$

Câu 4:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 10 x^{2} - \frac{143}{4}$ trên đoạn [-2; 5].

A. $- \frac{289}{4};$

B. $- \frac{543}{4};$

C. $- \frac{259}{2};$

D. $- \frac{143}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 10 x^{2} - \frac{143}{4}$

Þ f '(x) = x³ - 20x = x(x² - 20) = 0

$\Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 2 \sqrt{5} \end{matrix}$

Xét BBT của đồ thì hàm số $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 10 x^{2} - \frac{143}{4}$ trên [-2; 5]

Media VietJack

Dựa vào BBT, GTLN của hàm số f (x) trên [-2; 5] là $f (0) = - \frac{143}{4} .$

Câu 5:

Cho hai số phức z₁ = 2 - i và z₂ = 1 + 2i. Khi đó phần ảo của số phức z₁.z₂ bằng:

A. -2i;

B. 3;

C. -2;

D. 3i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có z₁.z₂ = (2 - i)(1 + 2i)

= 2 + 4i - i - 2i²

= 2 + 4i - i + 2 = 4 + 3i

Khi đó phần ảo của số phức z₁.z₂ bằng 3.

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{1}$ . Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

A. $\vec{u} = (1; - 1; 0);$

B. $\vec{u} = (2; 3; 1);$

C. $\vec{u} = (3; 2; 1);$

D. $\vec{u} = (0; - 1; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{1}$ .

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u} = (2; 3; 1) .$

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của (P) là

A. $\vec{n_{4}} = (- 1; 2; - 3);$

B. $\vec{n_{1}} = (2; 3; 4);$

C. $\vec{n_{2}} = (2; - 3; 4);$

D. $\vec{n_{3}} = (- 3; 4; - 1) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - 1 = 0. Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n_{2}} = (2; - 3; 4) .$

Câu 8:

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 0;

B. -1;

C. 1;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Dựa vào BBT ta thấy x cực tiểu của hàm số là x = 0.

Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là y (0) = 1.

Câu 9:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Media VietJack

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0; 3);

B. (-1; 1);

C. (1; + $\infty$ );

D. (-

\infty

; 1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Câu 10:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng có phương trình

A. x = 2;

B. x = -2;

C. x = -1;

D. x = 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

TXĐ: D = ℝ \ {-2}

Vậy suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng có phương trình x = -2.

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, xác định tâm của mặt cầu (x - 3)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 4

A. I(-3; -1; 2);

B. I(1; 2; 3);

C. I(3; 1; -2);

D. I(3; -1; -2).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Tâm của mặt cầu (x - 3)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 4 là I(3; 1; -2).

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; 0; 2) và B(2; -2; 6). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. I(1; -1; 4);

B. I(1; -1; 2);

C. I(4; -4; 16);

D. I(1; 2; 3).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của AB nên suy ra tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là

$\{\begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{0 - 2}{2} = - 1 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \end{matrix}$

Þ I(1; -1; 4).

Vậy tọa độ trung điểm của AB là I(1; -1; 4).

Câu 13:

Mô đun của số phức z = 3 - 4i là

A. 25;

B. $\sqrt{5};$

C. 4;

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Mô đun của số phức z = 3 - 4i là

$|z| = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5.$

Câu 14:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [1; 2] và f (1) = 2; f (2) = 1. Tính $\int_{1}^{2} f^{'} (x) d x = ?$

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{1}^{2} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{1}^{2} = f (2) - f (1) = 1 - 2 = - 1.$

Câu 15:

Số phức liên hợp của số phức z = −2 + 6i là

A. $\bar{z} = 2 - 6 i;$

B. $\bar{z} = - 2 + 6 i;$

C. $\bar{z} = - 2 - 6 i;$

D. $\bar{z} = 2 + 6 i .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Số phức liên hợp của số phức z = −2 + 6i là:

$\bar{z} = - 2 - 6 i .$

Câu 16:

Nếu

\int_{1}^{4} f (x) d x = 6

và

\int_{1}^{4} g (x) d x = - 5

thì

\int_{1}^{4} [f (x) - g (x)] d x

bằng

A. 11;

B. 1;

C. -11;

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{1}^{4} [f (x) - g (x)] d x = \int_{1}^{4} f (x) d x - \int_{1}^{4} g (x) d x$

= 6 - (-5) = 11.

Câu 17:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên là f '(x) = x²(x - 1). Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (-¥; +¥);

B. (1; +¥);

C. (0; 1);

D. (-¥; 1).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

f '(x) = x²(x - 1)

Để hàm số đồng biến thì f '(x) = x²(x - 1) ³ 0

Þ x - 1 ³ 0 (Do x² ³ 0 "x Î ℝ)

Û x ³ 1

Vậy suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; +¥).

Câu 18:

Cho hàm số f (x) = x² + 3. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C;$

B. $\int f (x) d x = 2 x + C;$

C. $\int f (x) d x = x^{2} + 3 x + C;$

D. $\int f (x) d x = x^{3} + 3 x + C .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Hàm số f (x) = x² + 3

$\Rightarrow \int f (x) d x = \int (x^{2} + 3) d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C .$

Câu 19:

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \frac{x}{4}$ , y = 0, x = 1, x = 4. Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox được tính theo công thức nào dưới đây?

A. $π \int_{1}^{4} {(\frac{x}{4})}^{2} d x;$

B. $π \int_{1}^{4} \frac{x^{2}}{4} d x;$

C. $π \int_{1}^{4} \frac{x}{16} d x;$

D. $π \int_{1}^{4} \frac{x}{4} d x .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox là:

$V = π \int_{1}^{4} {(\frac{x}{4})}^{2} d x .$

Câu 20:

Nếu

\int_{0}^{3} f (x) d x = 3

thì

\int_{0}^{3} 2 f (x) d x

bằng

A. 2;

B. 3;

C. 18;

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{0}^{3} 2 f (x) d x = 2 \int_{0}^{3} f (x) d x = 2.3 = 6.$

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 3}{3}$ . Điểm nào thuộc d

A. A(1; -2; -3);

B. A(-1; -2; 3);

C. A(-1; 2; 3);

D. A(1; -2; 3).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Lần lượt thay tọa độ của điểm A ở các phương án A, B, C, D ta thấy điểm A(1; -2; 3) thuộc đường thẳng d với

$\frac{x_{A} - 1}{2} = \frac{y_{A} + 2}{- 2} = \frac{z_{A} - 3}{3} = 0.$

Vậy điểm A(1; -2; 3) thuộc đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z - 3}{3}$ .

Câu 22:

Cho số phức z thỏa mãn $i . \bar{z} = 5 + 2 i$ . Điểm biểu diễn của số phức z có tọa độ là

A. (-2; 5);

B. (2; 5);

C. (-2; 5);

D. (2; -5).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$i . \bar{z} = 5 + 2 i \Leftrightarrow \bar{z} = \frac{5 + 2 i}{i} = - 5 i + 2$

Suy ra số phức z = 2 + 5i.

Khi đó, điểm biểu diễn của số phức z có tọa độ là (2; 5).

Câu 23:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ thỏa mãn

\int_{1}^{4} f (x) d x = 9

. Tính

I = \int_{0}^{1} f (3 x + 1) d x .

A. I = 3;

B. I = 9;

C. I = 27;

D. I = 28.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt u = 3x + 1 Þ du = 3 dx

Đổi cận:

+) x = 0 Þ u = 1

+) x = 1 Þ u = 4

Từ đó suy ra

$\Rightarrow I = \int_{0}^{1} f (3 x + 1) d x = \int_{1}^{4} \frac{f (u)}{3} d u$

$= \frac{1}{3} \int_{1}^{4} f (u) d u = \frac{9}{3} = 3.$

Câu 24:

Nếu $\int_{4}^{2} f (x) d x = - 2020$ và $\int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ thì $\int_{1}^{4} f (x) d x$ bằng

A. -2019;

B. -2021;

C. 2019;

D. 2021.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{1}^{4} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{4} f (x) d x$

$= \int_{1}^{2} f (x) d x - \int_{4}^{2} f (x) d x = 1 - (- 2020) = 2021.$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + 4y - 2z + 7 = 0. Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là.

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{- 1};$

B. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{- 2};$

C. $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2};$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{- 2} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (1; 4; - 2)$ .

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nên nhận $\vec{n} = (1; 4; - 2)$ làm véc-tơ chỉ phương là

$d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{- 2} .$

Câu 26:

Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số $f (x) = 2 x + 1 - \frac{2}{x - 2}$ biết F (1) = 3.

A. F (x) = x² + x - ln |x - 2| + 1;

B. F (x) = x² + x - 2ln |x - 2| + 1;

C. F (x) = x² + x - 2ln (2 - x) + 1;

D. F (x) = x² + x + 2ln |x - 2| + 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$f (x) = 2 x + 1 - \frac{2}{x - 2}$

$\Rightarrow F (x) = \int f (x) d x = \int (2 x + 1 - \frac{2}{x - 2}) d x$

= x² + x - 2ln |x - 2| + C

Mà do F (1) = 3 Þ 2 + C = 3 Û C = 1

Từ đó suy ra F (x) = x² + x - 2ln |x - 2| + 1.

Câu 27:

Tính

\int \frac{d x}{x}

A. ln (ln x) + C;

B. ln x + C;

C. ln |x| + C;

D. ln |ln x| + C.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int \frac{d x}{x} = \ln |x| + C .$

Câu 28:

Biết hàm số $y = \frac{x + a}{x - 1}$ (a là số thực cho trước, a ¹ -1) có đồ thị như trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Media VietJack

A. y' > 0, "x ¹ 1;

B. y' < 0, "x Î ℝ;

C. y' > 0, "x Î ℝ;

D. y' < 0, "x ¹ 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số $y = \frac{x + a}{x - 1}$ nghịch biến với mọi x ≠ 1.

Vậy suy ra y' < 0, "x ¹ 1.

Câu 29:

Trên đoạn [1; 5], hàm số

y = x + \frac{4}{x}

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. x = 1;

B. x = 4;

C. x = 2;

D. x = 5.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$y = x + \frac{4}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{4}{x^{2}} = 0$

Þ x² = 4 Û x = ±2

Xét BBT của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên [1; 5]

Media VietJack

Dựa vào BBT hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 2.

Câu 30:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x^{2} + x}$ là

A. 0;

B. 2;

C. 1;

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$y = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x^{2} + x} = \frac{(\sqrt{x + 1} - 1) (\sqrt{x + 1} + 1)}{(x^{2} + x) (\sqrt{x + 1} + 1)}$

$= \frac{(x + 1) - 1}{x (x + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{x}{x (x + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)}$

$= \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)}$

Ta có tập xác định của hàm số là

$(x + 1) (\sqrt{x + 1} + 1) \neq 0$

Þ x + 1 ¹ 0 (do $\sqrt{x + 1} + 1 \geq 0 \forall x$ )

Û x ¹ -1

Vậy hàm số có một tiệm cận đứng là x = -1.

Câu 31:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

Media VietJack

A. y = -x³ + 3x + 1;

B. y = x³ - 3x + 1;

C. y = x⁴ + 2x² + 1;

D. y = x⁴ + 4x² + 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta nhận dạng hàm số có dạng là một đa thức bậc ba

y = ax³ + bx² + cx + d

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ (0; 1), (-1; -1), (1; 3) và (2; -1) nên ta có hệ phương trình

$\{\begin{matrix} d = 1 \\ - a + b - c + d = - 1 \\ a + b + c + d = 3 \\ 8 a + 4 b + 2 c + d = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} d = 1 \\ - a + b - c = - 2 \\ a + b + c = 2 \\ 8 a + 4 b + 2 c = - 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} d = 1 \\ b = 0 \\ a + c = 2 \\ 8 a + 2 c = - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} d = 1 \\ b = 0 \\ a = - 1 \\ c = 3 \end{matrix}$

Vậy suy ra hàm số cần tìm có phương trình là

y = -x³ + 3x + 1.

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a} = (- 1; 3; 0)$ và vectơ $\vec{b} = (4; - 1; 2)$ . Tính $(\vec{a} - 2 \vec{b}) . \vec{a}$ bằng

A. 4;

B. 28;

C. -4;

D. 24.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$(\vec{a} - 2 \vec{b}) . \vec{a} = [(- 1; 3; 0) - 2 (4; - 1; 2)] . (- 1; 3; 0)$

= (-9; 5; -4).(-1; 3; 0) = (-9).(-1) + 5.3 + (-4).0

= 24.

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 2). Tìm tọa độ điểm N là điểm đối xứng của M qua trục Ox

A. N(3; -1; -2);

B. N(-3; 1; 2);

C. N(-3; -1; -2);

D. N(3; 0; 0).

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, hai điểm đối xứng với nhau qua trục hoành thì có hoành độ bằng nhau và có tung độ và cao độ đối nhau.

Vậy suy ra tọa độ điểm N là điểm đối xứng của M(3; 1; 2) qua trục Ox là N(3; -1; -2).

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn $z = \bar{z}$ . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn cho số phức z là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

A. Đường thẳng x = 0;

B. Đường thẳng y = -x;

C. Đường thẳng y = x;

D. Đường thẳng y = 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi số phức z = a + bi $\Rightarrow \bar{z} = a - b i$

$z = \bar{z} \Rightarrow a + b i = a - b i \Leftrightarrow 2 b i = 0$

Từ đó suy ra b = 0

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn cho số phức z là đường thẳng y = 0.

Câu 35:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; 1), B(-3; 5; 2) và mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Mặt phẳng chứa hai điểm A; B và vuông góc với mp (Q) có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n} = (2; 9; - 15);$

B. $\vec{n} = (2; - 9; - 15);$

C. $\vec{n} = (2; 9; 15);$

D. $\vec{n} = (- 2; 9; - 15) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có:

+) $\vec{A B} = (- 6; 3; 1)$

+) $\vec{n_{Q}} = (3; 1; 1)$

Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A; B và vuông góc với mp (Q) nên có véc-tơ pháp tuyến đều vuông góc với hai véc-tơ $\vec{A B}$ và $\vec{n_{Q}}$

$\Rightarrow \vec{n_{p}} = [\vec{A B}; \vec{n_{Q}}]$

$= (|\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 6 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}|) = (2; 9; - 15)$

Vậy véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (2; 9; - 15) .$

Câu 36:

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Giả sử phần gạch dọc có diện tích bằng a. Tính theo a giá trị của tích phân

\int_{- 3}^{2} [1 + (2 x + 1) f^{'} (x)] d x .

A. 50 - 2a;

B. -30 + 2a;

C. 50 - a;

D. 55 - 2a.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

$\int_{- 3}^{2} [1 + (2 x + 1) f^{'} (x)] d x = \int_{- 3}^{2} (2 x + 1) f^{'} (x) d x + \int_{- 3}^{2} 1 d x$

Đặt $\{\begin{matrix} u = 2 x + 1 \Rightarrow d u = 2 d x \\ d v = f^{'} (x) d x \Rightarrow v = f (x) \end{matrix}$

Suy ra

$\int_{- 3}^{2} (2 x + 1) f^{'} (x) d x + \int_{- 3}^{2} 1 d x$

$= {(2 x + 1) f (x)|}_{- 3}^{2} - 2 \int_{- 3}^{2} f (x) d x + {x|}_{- 3}^{2}$

$= 5 f (2) + 5 f (- 3) - 2 \int_{- 3}^{2} f (x) d x + 2 + 3$

= 5.2 + 5.8 - 2a + 5 = 55 - 2a.

Câu 37:

Cho số phức z thỏa mãn |z - 1 - 2i| = 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 4 - 6i|.

A. min P = 8;

B. min P = 2;

C. $\min P = \frac{3}{2};$

D. min P = 1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

|z - 4 - 6i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 4i)|

Þ P ³ ||z - 1 - 2i| - |3 + 4i||

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z - 4 - 6i| là min P = 2.

Câu 38:

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như dưới đây

Media VietJack

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2022; 2022] để hàm số g (x) = f ³(x) - mf (x) có nhiều điểm cực trị nhất?

A. 26;

B. 27;

C. 2022;

D. 2021.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

g (x) = f ³(x) - mf (x)

Þ g '(x) = 3f '(x).f ²(x) - mf '(x) = 0

$\Rightarrow [\begin{matrix} f' (x) = 0 \\ f (x) = \pm \sqrt{\frac{m}{3}} \end{matrix}$

Để có nhiều cực trị nhất thì m > 0

+) TH1: f '(x) = 0 Þ x = -1, x = 2

+) TH2: $f (x) = \sqrt{\frac{m}{3}}$ (1)

Để hàm số g (x) = f ³(x) - mf (x) có nhiều điểm cực trị nhất thì phương trình

$f (x) = \sqrt{\frac{m}{3}}$ cho 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow - 3 < \sqrt{\frac{m}{3}} < 4 \Leftrightarrow m < 48$

+) TH2: $f (x) = - \sqrt{\frac{m}{3}}$ (1)

Để hàm số g (x) = f³ (x) - mf (x) có nhiều điểm cực trị nhất thì phương trình

f (x) = - \sqrt{\frac{m}{3}}

cho 3 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow - 3 < - \sqrt{\frac{m}{3}} < 4 \Leftrightarrow m < 27

Vậy suy ra 0 < m < 27

Vậy có 26 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 39:

Cho hàm số $y = \frac{3 x + m}{x - 2}$ (với m là tham số thực) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-2; 1] bằng 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0 £ m < 3;

B. -3 £ m < 0;

C. m < -3;

D. m ³ 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$y = \frac{3 x + m}{x - 2} \Rightarrow y' = \frac{- 6 - m}{{(x - 2)}^{2}}$

+) TH1: Hàm số đồng biến nên suy ra $y' = \frac{- 6 - m}{{(x - 2)}^{2}} > 0 \Rightarrow m < - 6$

Suy ra GTLN trên đoạn [-2; 1] bằng $y (1) = \frac{m + 3}{- 1} = 2 \Leftrightarrow m = - 5$ (loại)

+) TH1: Hàm số nghịch biến nên suy ra $y' = \frac{- 6 - m}{{(x - 2)}^{2}} < 0 \Rightarrow m > - 6$

Suy ra GTLN trên đoạn [-2; 1] bằng $y (- 2) = \frac{m - 6}{- 4} = 2 \Leftrightarrow m = - 2$ (nhận)

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm của m Þ -3 £ m < 0.

Câu 40:

Trong không gian Oxy, cho hai điểm A(2; 2; -1), B(1; -4; 3). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Ozx) tại điểm M. Tìm tỉ số $\frac{M A}{M B}$ .

A. 3;

B. $\frac{1}{2};$

C. 2;

D. $\frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng AB đi qua A và có véc-tơ chỉ phương là $\vec{A B} = (- 1; - 6; 4)$ là

$A B : \{\begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 2 - 6 t \\ z = - 1 + 4 t \end{matrix}$

Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Ozx) tại điểm M có tung độ bằng 0

Þ 2 - 6t = 0 $\Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$

Vậy suy ra tọa độ điểm M là $M (\frac{5}{3}; 0; \frac{1}{3})$

Khi đó $\frac{M A}{M B} = \frac{\sqrt{{(2 - \frac{5}{3})}^{2} + 2^{2} + {(- 1 - \frac{1}{3})}^{2}}}{\sqrt{{(1 - \frac{5}{3})}^{2} + {(- 4)}^{2} + {(3 - \frac{1}{3})}^{2}}}$

$= \frac{\frac{\sqrt{53}}{3}}{\frac{2 \sqrt{53}}{3}} = \frac{1}{2} .$

Câu 41:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f '(x) như hình sau. Hàm số y = f(3 - 2x) + 2022 đồng biến trên khoảng nào.

A. (1; +¥);

B. $(0; \frac{1}{2});$

C. $(\frac{1}{2}; 1);$

D. $(- \infty; \frac{1}{2}) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

y = f(3 - 2x) + 2022

Þ y' = -2f '(3 - 2x)

Để hàm số đồng biến thì y' = -2f '(3 - 2x) ³ 0

Û f '(3 - 2x) £ 0

Þ 1 £ 3 - 2x £ 2

Û 1 £ 2x £ 2

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq x \leq 1$

Vậy để hàm số đồng biến thì $x \in (\frac{1}{2}; 1) .$

Câu 42:

Cho số phức z = a + bi (a; b Î ℝ) thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ và môđun của số phức $z - \frac{1}{2} + 3 i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của 2a + 8b bằng

A. 2;

B. 15;

C. 16;

D. 14.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$

Û 4(a + bi - a + bi) - 15i = i(a + bi + a - bi - 1)²

Û 8bi - 15i = i(2a - 1)²

Û 8b - 15 = (2a - 1)²

Ta có:

$|z - \frac{1}{2} + 3 i| = \sqrt{{(a - \frac{1}{2})}^{2} + {(b + 3)}^{2}}$

$= \sqrt{\frac{1}{4} {(2 a - 1)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} = \sqrt{\frac{8 b - 15}{4} + {(b + 3)}^{2}}$

$= \sqrt{\frac{8 b - 15}{4} + b^{2} + 6 b + 9} = \sqrt{b^{2} + 8 b + \frac{21}{4}}$

$\geq \sqrt{{(\frac{15}{8})}^{2} + 8. \frac{15}{8} + \frac{21}{4}} = \frac{39}{8}$

Dấu “=” xảy ra Û $b = \frac{15}{8}; a = \frac{1}{2}$ .

Khi đó $2 a + 8 b = 2. \frac{1}{2} + 8. \frac{15}{8} = 16.$

Vậy 2a + 8b = 16.

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ . Gọi D là đường thẳng song song với (P): x + y + z - 7 = 0 và cắt d₁, d₂ lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng D là

A. $\{\begin{matrix} x = 6 \\ y = \frac{5}{2} - t \\ z = \frac{- 9}{2} + t \end{matrix};$

B. $\{\begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = \frac{- 9}{2} + t \end{matrix};$

C. $\{\begin{matrix} x = 12 - t \\ y = 5 \\ z = - 9 + t \end{matrix};$

D. $\{\begin{matrix} x = 6 - 2 t \\ y = \frac{5}{2} + t \\ z = \frac{- 9}{2} + t \end{matrix} .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có:

A = D Ç d₁ Þ A(1 + 2a; a; -2 - a)

B = D Ç d₂ Þ B(1 + b; -2 + 3b; 2 - 2b)

+) $\vec{A B} = (b - 2 a; - 2 + 3 b - a; 4 - 2 b + a)$

+) $\vec{n_{P}} = (1; 1; 1)$

D là đường thẳng song song với (P) và A, B thuộc D nên $\vec{A B} ⊥ \vec{n_{P}}$

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{n_{P}} = 0$

Þ b - 2a - 2 + 3b - a+ 4 - 2b + a = 0

Û 2a - 2b - 2 = 0 Û b = a - 1

Từ đó suy ra $\vec{A B} = (- a - 1; 2 a - 5; - a + 6)$ .

Khi đó $A B = \sqrt{{(a + 1)}^{2} + {(2 a - 5)}^{2} + {(a - 6)}^{2}}$

$= \sqrt{6 a^{2} - 30 a + 62} = \sqrt{6 (a^{2} - 5 a + \frac{25}{4}) + \frac{49}{2}}$

$= \sqrt{6 {(a - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = \frac{5}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \vec{A B} = (\frac{- 7}{2}; 0; \frac{7}{2}) = \frac{7}{2} (- 1; 0; 1)$ và $A (6; \frac{5}{2}; \frac{- 9}{2})$ .

Phương trình đường thẳng D đi qua $A (6; \frac{5}{2}; \frac{- 9}{2})$ và có véc-tơ chỉ phương (-1; 0; 1) là

$Δ : \{\begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = \frac{- 9}{2} + t \end{matrix}$

Câu 44:

Cho số phức z = a + bi thỏa mãn |z - 1 + 2i| = |z - 3 - 4i| và

z + 2 i \bar{z}

là số thực. Tính tổng a + b bằng?

A. 3;

B. 1;

C. -3;

D. -1.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

|z - 1 + 2i| = |z - 3 - 4i|

Û (a - 1)² + (b + 2)² = (a - 3)² + (b - 4)²

Û a² - 2a + 1 + b² + 4b + 4 = a² - 6a + 9 + b² - 8b + 16

Û 4a + 12b - 20 = 0 Û a + 3b - 5 = 0

Û a = 5 - 3b

Vậy suy ra z = (5 - 3b) + bi và $\bar{z} = (5 - 3 b) - b i$

Ta có:

$z + 2 i \bar{z} = (5 - 3 b) + b i + 2 i [(5 - 3 b) - b i]$

= (5 - b) + (10 - 5b)i

Để $z + 2 i \bar{z}$ là số thực thì 10 - 5b = 0

Û b = 2 Þ a = -1

Khi đó a + b = -1 + 2 = 1.

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 5}{3}$ và hai điểm A(3; 4; 5), B(-4; 0; 2). Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) Î d, bán kính R và (S) đi qua hai điểm A, B. Khi đó a² + b² + c² + R bằng

A. 36;

B. 50;

C. 30;

D. 25.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

I(t; 2t; 5 + 3t) Î d

+) IA = IB

Þ (t - 3)² + (2t - 4)² + (5 + 3t - 5)² = (t + 4)² + (2t)² + (5 + 3t - 2)²

Û 48t = 0 Û t = 0

Vậy suy ra I(0; 0; 5)

$R = I A = \sqrt{{(3 - 0)}^{2} + {(4 - 0)}^{2} + {(5 - 5)}^{2}} = 5$

Khi đó a² + b² + c² + R

= 0² + 0² + 5² + 5 = 30.

Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{- 3}$ . Gọi đường thẳng D là hình chiếu vuông góc của (d) lên mp (Oyz). Một vectơ chỉ phương của D là

A. $\vec{u} (1; 0; - 3);$

B. $\vec{u} (0; 1; - 3);$

C. $\vec{u} (0; 1; 3);$

D. $\vec{u} (0; - 1; 3) .$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{- 3}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 - 3 t \end{matrix}$

Gọi M là giao của d và (Oyz) nên M có hoành độ bằng 0

Þ 2 + 2t = 0 Û t = -1

Vậy suy ra M(0; 2; 2)

Lấy điểm N(2; 1; -1) là một điểm bất kì thuộc d

Þ Hình chiếu của N lên (Oyz) là N’(0; 1; -1)

Suy ra $\vec{M N'} = (0; - 1; - 3) = - (0; 1; 3)$

Vậy vectơ chỉ phương của D là $\vec{u} (0; 1; 3) .$

Câu 47:

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị như hình vẽ sau

Media VietJack

A. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0;

B. a > 0, b < 0, c > 0, d < 0;

C. a < 0, b < 0, c < 0, d > 0;

D. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

y = ax³ + bx² + cx + d

+) x = 0 Þ y = d > 0

+) Khi x tiến đến dương vô cùng thì y tiến đến dương vô cùng Þ a > 0

Xét y' = 3ax² + 2bx + c = 0 cho điểm cực trị trái dấu và tổng 2 cực trị dương

$\Rightarrow \{\begin{matrix} - \frac{2 b}{3 a} > 0 \\ \frac{c}{3 a} < 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} b < 0 \\ c < 0 \end{matrix}$

Vậy suy ra a > 0, b < 0, c < 0, d > 0.

Câu 48:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 5 k h i x \geq 1 \\ 3 x^{2} + 4 k h i x < 1 \end{matrix}$ . Giả sử F là nguyên hàm của f trên ℝ thỏa mãn F(0) = 2. Giá trị của F (-1) + 2F (2) + 6 bằng?

A. 12;

B. 33;

C. 29;

D. 27.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

+) Khi x < 1

$F (x) = \int f (x) d x = \int (3 x^{2} + 4) d x$

= x³ + 4x + C₁

Mà F (0) = C₁ = 2 Þ F (x) = x³ + 4x + 2

Ta có: F (1) = 1 + 4 + 2 = 7

+) Khi x ³ 1

$F (x) = \int f (x) d x = \int (2 x + 5) d x$

= x² + 5x + C₂

Mà F (1) = 1 + 5 + C₂ = 6 + C₂ = 7

Û C₂ = 1

Þ F (x) = x² + 5x + 1

Khi đó F (-1) + 2F (2) + 6

= (-1)³ + 4.(-1) + 2 + 2(2² + 5.2 + 1) + 6 = 33.

Câu 49:

Cho hàm số f (x) = x³ + bx² + cx + d với b, c, d Î ℝ. Biết hàm số g (x) = f (x) + 2f '(x) + 3f ''(x) có hai giá trị cực trị là -6 và 42. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{f (x) + f' (x) + f'' (x)}{g (x) + 18}$ và y = 1 là ln a. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a chia hết cho 3;

B. 1 < a < 6;

C. a là số chính phương;

D. a² + 1 < 20.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

f (x) = x³ + bx² + cx + d

Þ f '(x) = 3x² + 2bx + c

Þ f ''(x) = 6x + 2b

Từ đó suy ra g (x) = f (x) + 2f '(x) + 3f ''(x)

= x³ + bx² + cx + d + 2(3x² + 2bx + c) + 3(6x + 2b)

= x³ + (b + 6)x² + (4b + c + 18)x + (d + 2c + 6b)

Þ g '(x) = 3x² + 2(b + 6)x + (4b + c + 18) = 0

Hoành độ giao điểm của đường $y = \frac{f (x) + f' (x) + f'' (x)}{g (x) + 18}$ và y = 1 là nghiệm của phương trình $\frac{f (x) + f' (x) + f'' (x)}{g (x) + 18} = 1$

Û f (x) + f '(x) + f ''(x) = g (x) + 18

Û f (x) + f '(x) + f ''(x) = f (x) + 2f '(x) + 3f ''(x) + 18

Û f '(x) + 2f ''(x) + 18 = 0

Û 3x² + 2bx + c + 2(6x + 2b) + 18 = 0

Û 3x² + 2(b + 6)x + (4b + c + 18) = 0

Û g '(x) = 0 Þ x = x₁ và x = x₂ với g (x₁) = -6 và g (x₂) = 42

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{f (x) + f' (x) + f'' (x)}{g (x) + 18}$ và y = 1 là $\int_{x_{1}}^{x_{2}} |\frac{f (x) + f' (x) + f'' (x)}{g (x) + 18} - 1| d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} |\frac{g' (x)}{g (x) + 18}| d x$

$= {\ln |g (x) + 18||}_{x_{1}}^{x_{2}} = \ln |\frac{g (x_{2}) + 18}{g (x_{1}) + 18}|$

$= \ln |\frac{42 + 18}{- 6 + 18}| = \ln 5$

Mà ln 5 = ln a nên suy ra a = 5

Xét các mệnh đề trên

+) a = 5 nên a không chia hết cho 3

+) a = 5 Þ 1 < a < 6

+) a = 5 nên a không là số chính phương

+) a = 5 Þ a² + 1 = 26 > 20.

Câu 50:

Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Phương trình f (f (x) - 1) = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 4;

B. 8;

C. 6;

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

f (f (x) - 1) = 0

$\Rightarrow [\begin{matrix} f (x) - 1 = a (- 2 < a < - 1) \\ f (x) - 1 = b (- 1 < b < 0) \\ f (x) - 1 = c (0 < c < - 1) \\ f (x) - 1 = d (1 < d < 2) \end{matrix}$

+) TH1: f (x) - 1 = a Û f (x) = a + 1 (-1 < a + 1 < 0)

Phương trình cho ít nhất 4 nghiệm phân biệt

+) TH2: f (x) - 1 = b Û f (x) = b + 1 (0 < b + 1 < 1)

Phương trình cho 4 nghiệm phân biệt

+) TH3: f (x) - 1 = c Û f (x) = c + 1 (1 < c + 1 < 2)

Phương trình vô nghiệm

+) TH4: f (x) - 1 = d Û f (x) = d + 1 (2 < d + 1 < 3)

Phương trình vô nghiệm

Vậy suy ra phương tình f (f (x) - 1) = 0 cho ít nhất 8 nghiệm phân biệt.