50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 3

Câu 1:

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = $\frac{i - 3}{1 + i}$ ?

Media VietJack

A. Điểm B

B. Điểm C

C. Điểm A

D. Điểm D

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

z = $\frac{i - 3}{1 + i}$ = $\frac{(i - 3) (1 - i)}{1 - i^{2}}$ = −1 + 2i

Điểm biểu diễn của số phức z = −1 + 2i là điểm A

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x² + y² + z² + 2x + 4y – 6z – 1 = 0. Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là:

A. (−1; −2; 3)

B. (1; 2; −3)

C. (2; 4; −6)

D. (−2; −4; 6)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Tâm của mặt cầu (S) là (−1; −2; 3)

Câu 3:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x$ = 2, $\int_{1}^{4} f (x) d x$ = −1 thì $\int_{2}^{4} f (x) d x$ bằng

A. −3

B. 1

C. −2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{2}^{4} f (x) d x$ = $\int_{1}^{4} f (x) d x + \int_{2}^{1} f (x) d x$ = −1 + (−2) = −3

Câu 4:

Cho hai số phức z₁ = 2 + 3i, z₂ = −4 – i. Số phức z = z₁ – z₂ có môđun là

A. $2 \sqrt{17}$

B. $\sqrt{13}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{13}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

z = z₁ – z₂ = (2 + 3i) – (−4 – i) = 6 + 4i

|z| = $\sqrt{6^{2} + 4^{2}}$ = $2 \sqrt{13}$

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức?

A. V = $\int_{a}^{b} |f (x)| d x$

B. V = π^{2 $\int_{a}^{b} f (x) d x$}

C. V = π $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

D. V = π^{2 $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Thể tích khối tròn xoay được tạo thành là V = π $\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

Câu 6:

Cho các số thực a, b (a < b) và hàm số y = f(x) có đạo hàm là hàm liên tục trên ℝ. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. $\int_{a}^{b} f (x) d x$ = f '(a) – f '(b)

B. $\int_{a}^{b} f' (x) d x$ = f(b) – f(a)

C. $\int_{a}^{b} f (x) d x$ = f '(b) – f '(a)

D.

\int_{a}^{b} f' (x) d x

= f(a) – f(b)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int_{a}^{b} f' (x) d x$ = f(b) – f(a)

Câu 7:

Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Biểu thức $\int f (x) d x$ bằng

A. F(x)

B. F(x) + C

C. F '(x) + C

D. xF(x) + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Do F(x) là nguyên hàm của f(x) nên $\int f (x) d x$ = F(x) + C

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a}$ = −2 $\vec{i}$ + 4 $\vec{j}$ − 6 $\vec{k}$ . Tọa độ của $\vec{a}$ bằng

A. (−1; 2; −3)

B. (−2; 4; −6)

C. (2; −4; 6)

D. (1; −2; 3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Tọa độ của $\vec{a}$ = (−2; 4; −6)

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình $\{\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - t \\ z = - 2 + t \end{matrix}$ (t ∈ ℝ). Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây?

A. C(−2; −3; 2)

B. B(2; 3; −2)

C. D(2; 3; 2)

D. A(1; −1; 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Thay lần lượt các điểm C, B, D, A vào phương trình đường thẳng d có:

+) Điểm C: $\{\begin{matrix} - 2 = 2 + t \\ - 3 = 3 - t \\ 2 = - 2 + t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t = 4 \\ t = 6 \\ t = - 4 \end{matrix}$ (vô lí);

+) Điểm B: $\{\begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 3 = 3 - t \\ - 2 = - 2 + t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow t = 0$ (thỏa mãn);

+) Điểm D: $\{\begin{matrix} 2 = 2 + t \\ 3 = 3 - t \\ 2 = - 2 + t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t = 0 \\ t = 0 \\ t = 4 \end{matrix}$ (vô lí);

+) Điểm A: $\{\begin{matrix} 1 = 2 + t \\ - 1 = 3 - t \\ 1 = - 2 + t \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} t = - 1 \\ t = 4 \\ t = 3 \end{matrix}$ (vô lí);

Vậy đường thẳng d đi qua điểm B(2; 3; −2).

Câu 10:

Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{\cos^{2} x}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A. $\int f (x) d x$ = tanx + C

B. $\int f (x) d x$ = cotx + C

C. $\int f (x) d x$ = −cotx + C

D.

\int f (x) d x

= −tanx + C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x$ = tanx + C

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−1; 1; −2) và bán kính r = 3 là

A. (S) : (x + 1)² + (y – 1)² + (z + 2)² = 3;

B. (S) : (x – 1)² + (y + 1)² + (z – 2)² = 9;

C. (S) : (x + 1)² + (y – 1)² + (z + 2)²= 9;

D. (S) : (x – 1)² + (y + 1)² + (z – 2)² = 3.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

(S) có tâm I(−1; 1; −2) và r = 3 có phương trình là:

(x + 1)² + (y – 1)² + (z + 2)² = 9

Câu 12:

Tất cả các nghiệm phức của phương trình z² – 2z + 17 = 0 là

A. 4i;

B. 1 – 4i; 1+4i;

C. −16i;

D. 2 + 4i; 2 − 4i.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

z² – 2z + 17 = 0 Û $[\begin{matrix} z = 1 + 4 i \\ z = 1 - 4 i \end{matrix}$

Câu 13:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và $\vec{n'}$ . Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Chọn công thức đúng?

A. cos φ = $\frac{|\vec{n'} . \vec{n}|}{|\vec{n'}| |\vec{n}|}$

B. cos φ = $\frac{\vec{n'} . \vec{n}}{|\vec{n'}| |\vec{n}|}$

C. sin φ = $\frac{|\vec{n'} . \vec{n}|}{|\vec{n'}| |\vec{n}|}$

D. sinφ =

\frac{\vec{n'} . \vec{n}}{|\vec{n'}| |\vec{n}|}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: cos φ = $\frac{|\vec{n'} . \vec{n}|}{|\vec{n'}| |\vec{n}|}$ .

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt phẳng (P) : 2x – z + 2 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

A. (2; −1; 0)

B. (2; −1; 2)

C. (2; 0; −1)

D. (0; −1; 2)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Vectơ pháp tuyến của (P) là (2; 0; −1)

Câu 15:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích S của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?

Media VietJack

A. S = − $\int_{0}^{3} f (x) d x$

B. S = $\int_{0}^{3} f (x) d x$

C. S = $\int_{0}^{4} f (x) d x$

D. S = −

\int_{0}^{4} f (x) d x

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Diện tích của miền tô đậm là: S = $- \int_{0}^{3} f (x) d x$

Câu 16:

Cho số phức z = −1 + 5i. Phần ảo của số phức $\bar{z}$ bằng

A. −5

B. 5

C. 1

D. −1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\bar{z}$ = −1 – 5i nên phần ảo là −5

Câu 17:

Cho số phức z = a + bi (a ∈ ℝ, b ∈ ℝ). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. | $\bar{z}$ | = $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

B. |z| = a² + b²

C. |z| = $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

D. |

\bar{z}

| =

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: |z| = | $\bar{z}$ | = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C(0; 0; 5). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là

A. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1$

B. $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$

C. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 0$

D. $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1$

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 6 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng

A. 0

B. 3

C. 6

D. 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng:

d_{(O; (P))} = $\frac{|2.0 - 2.0 + 0 + 6|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1}}$ = $\frac{6}{3}$ = 2.

Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – 3y + z – 3 = 0. Mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (α)?

A. (γ) : 2x – 3y + z + 2 = 0

B. (Q) : 2x + 3y + z + 3 = 0

C. (P) : 2x – 3y + z – 3 = 0

D. (β) : x – 3y + z – 3 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Do mặt phẳng cần tìm song song với (α) nên có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (2; −3; 1)

Mặt phẳng cần tìm là : (γ) : 2x – 3y + z + 2 = 0

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, gọi M(a; b; c) là giao điểm của đường thẳng d : $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng (P) : 2x + 3y – 4z + 4 = 0. Tính T = a + b + c

A. T = $\frac{3}{2}$

B. T = 6

C. T = 4

D. T =

- \frac{5}{2}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

d: $\{\begin{matrix} x = - 1 + 2 t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + t \end{matrix}$

Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (P), thay d vào (P) được:

−2 + 4t + 9 – 3t – 8 – 4t + 4 = 0 Û 3t = 3 Û t = 1

Thay t = 1 vào d ta được M(1; 2; 3)

Nên T = 1 + 2 + 3 = 6

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(2; 0; −2) và A(2; 3; 2). Mặt cầu (S) có tâm I và đi qua điểm A có phương trình là

A. (x − 2)² + y² + (z + 2)² = 25

B. (x + 2)² + y² + (z – 2)² = 25

C. (x – 2)² + y² + (z + 2)² = 5

D. (x + 2)² + y² + (z – 2)² = 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\vec{I A}$ = (0; 3; 4)

IA = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5 = R

Phương trình mặt cầu (S) có R = 5 có phương trình là:

(x – 2)² + y² + (z + 2)² = 25

Câu 23:

Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z – i + 2| = 2 là

A. Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 2

B. Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R = 2

C. Đường tròn tâm I(2; −1), bán kính R = 2

D. Đường tròn tâm I(−2; 1), bán kính R = 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài: z thỏa mãn |z – (a + bi)| = R có tập hợp điểm là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.

Nên |z – i + 2| = 2 là đường tròn tâm I(−2; 1) và R = 2.

Câu 24:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(−2; 1; 8). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy). Tọa độ của điểm H là

A. H(−2; 0; 8)

B. H(−2; 1; 0)

C. H(0; 0; 8)

D. H(0; 1; 8)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của M là H(−2; 1; 0)

Câu 25:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = $\frac{3}{x}$ và y = 4 – x. Tính S

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{4}{3}$ π

C. 4 – 3 ln3

D. 3ln3 − $\frac{10}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm là: $\frac{3}{x}$ = 4 – x Û x(4 – x) = 3 Û −x² + 4x – 3 = 0

Û $[\begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \end{matrix}$

Diện tích giới hạn bởi 2 đường thẳng là:

S = $\int_{1}^{3} |- x^{2} + 4 x - 3| d x$ = $\frac{4}{3}$ .

Câu 26:

Tính tích phân I = $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin x d x$

A. I = 1 − $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. I = −1 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. I = $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. I =

\frac{\sqrt{2}}{2}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin x d x$ = ${- \cos x|}_{0}^{\frac{π}{4}}$ = − $(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$ = 1 − $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho phương trình của hai đường thẳng d₁ : $\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ và d₂ : $\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 2}$ . Vị trí tương đối của hai đường d₁ và d₂ là

A. d₁, d₂ cắt nhau

B. d₁, d₂ song song

C. d₁, d₂ chéo nhau

D. d₁, d₂ trùng nhau

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

d₁ có ${\vec{u}}_{1}$ = (2; −1; 1)

d₂ có ${\vec{u}}_{2}$ = (1; 1; −2)

[ $\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}$ ] = (1; 5; 3)

M₁ (0; 0; 1) ∈ d₁; M₂ (3; 0; 0) ∈ d₂

Þ $\vec{M_{1} M_{2}}$ = (3; 0; −1)

|[ $\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}$ ] . $\vec{M_{1} M_{2}}$ | = 0

Mà $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương (≠ 0) nên d₁ và d₂ cắt nhau

Câu 28:

Giá trị các số thực a, b thỏa mãn 2a + (b + 1 + i)i = 1 + 2i (với i là đơn vị ảo) là

A. a = $\frac{1}{2}$ ; b = 0

B. a = $\frac{1}{2}$ ; b = 1

C. a = 0; b = 1

D. a = 1; b = 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

2a + (b + 1 + i)i = 1 + 2i Û 2a + bi + i – 1 = 1 + 2i Û (2a – 1) + (b + 1)i = 1 + 2i

Ta có: $\{\begin{matrix} 2 a - 1 = 1 \\ b + 1 = 2 \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \end{matrix}$

Câu 29:

Tính $\int e^{2 x - 5} d x$ ta được kết quả nào sau đây?

A. $\frac{e^{2 x - 5}}{- 5}$ + C

B. −5e^{2x – 5}+ C

C. $\frac{e^{2 x - 5}}{2}$ + C

D. 2e^{2x – 5}+ C

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

$\int e^{2 x - 5} d x$ = $\frac{1}{2}$ e^{2x – 5}+ C

Câu 30:

Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình z² + 3z + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức P = |z₁| + |z₂|

A. P = $4 \sqrt{2}$

B. P = $2 \sqrt{2}$

C. P = 4

D. P = 2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

z²+ 3x + 4 = 0 Û $[\begin{matrix} z_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{7} i}{2} \\ z_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{7} i}{2} \end{matrix}$

|z₁| = $\sqrt{{(\frac{- 3}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{7}}{2})}^{2}}$ = 2

|z₂| = $\sqrt{{(- \frac{3}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{7}}{2})}^{2}}$ = 2

Vậy P = 2 + 2 = 4

Câu 31:

Tính tích phân I = $\int_{0}^{1} \frac{x - 3}{x + 1} d x$

A. I = 2 – 5ln2

B. I = 1 – 4ln2

C. I = $\frac{7}{2}$ − 5ln3

D. I = 4ln3 – 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

$\int_{0}^{1} \frac{x - 3}{x + 1} d x$ = $\int_{0}^{1} \frac{(x + 1) - 4}{x + 1} d x$ = $\int_{0}^{1} (1 - \frac{4}{x + 1}) d x$ = ${x|}_{0}^{1}$ − 4. ${\ln (x + 1)|}_{0}^{1}$ = 1 – 4ln2

Câu 32:

Cho số phức z thỏa mãn (2 – i)z + 3i + 2 = 0. Phần thực của số phức z bằng

A. $- \frac{1}{5}$

B. $- \frac{8}{5}$

C. $\frac{8}{5}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

(2 – i)z + 3i + 2 = 0 Û z = $\frac{- 3 i - 2}{2 - i}$ = $\frac{(- 3 i - 2) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$ = $\frac{- 6 i - 3 i^{2} - 4 - 2 i}{5}$ = $- \frac{1}{5} - \frac{8}{5} i$

Vậy phần thực của số phức là $- \frac{1}{5}$

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; −6) và B(5; 3; −2) có phương trình tham số là

A. $\{\begin{matrix} x = 5 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 2 + 2 t \end{matrix}$

B. $\{\begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 6 - 2 t \end{matrix}$

C. $\{\begin{matrix} x = 6 + 2 t \\ y = 4 + 2 t \\ z = - 1 + 4 t \end{matrix}$

D. $\{\begin{matrix} x = 5 + 2 t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 - 4 t \end{matrix}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

$\vec{A B}$ = (2; 2; 4) = (1; 1; 2)

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương $\vec{A B}$ là:

$\{\begin{matrix} x = 5 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 2 + 2 t \end{matrix}$

Câu 34:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(−1; 2; 1). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là?

A. I(−3; 1; 0)

B. I $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 1)$

C. I $(- \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; 0)$

D. I

(\frac{1}{3}; 1; \frac{2}{3})

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi tọa độ trung điểm của AB là I

I có tọa độ : $\{\begin{matrix} x = \frac{2 - 1}{2} \\ y = \frac{1 + 2}{2} \\ z = \frac{1 + 1}{2} \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{3}{2} \\ z = 1 \end{matrix}$ Þ I $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 1)$

Câu 35:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x + 2y – z – 6 = 0. Gọi mặt phẳng (β) : x + y + cz + d = 0 không qua O, song song với mặt phẳng (α) và d((α),(β)) = 2. Tính c.d?

A. cd = 3

B. cd = 0

C. cd = 12

D. cd = 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Do (α) // (β) nên $\frac{2}{1} = \frac{2}{1} = \frac{- 1}{c}$ Þ c = $- \frac{1}{2}$

Þ (β) : x + y $- \frac{1}{2}$ z + d = 0

(α) : 2x + 2y – z – 6 = 0 Û x + y − $\frac{1}{2}$ z − 3 = 0

d_((α);(β)) = 2 Û $\frac{|3 + d|}{\sqrt{1 + 1 + {(- \frac{1}{2})}^{2}}} = 2$ Û |3 + d| = 3 Û $[\begin{matrix} d = 0 \\ d = - 6 \end{matrix}$

Vì (β) không đi qua O nên loại d = 0

Nên d = −6

Vậy c.d = $(- \frac{1}{2})$ .(−6) = 3

Câu 36:

Tích phân $\int_{0}^{10} x e^{30 x} d x$ bằng

A. $\frac{1}{900} (299 e^{300} + 1)$

B. 300 – 900e³⁰⁰

C. −300 + 900e³⁰⁰

D.

\frac{1}{900} (299 e^{300} - 1)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $\{\begin{matrix} u = x \\ d v = e^{30 x} d x \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} d u = d x \\ v = \frac{1}{30} e^{30 x} \end{matrix}$

Do đó, ta được: $\int_{0}^{10} x e^{30 x} d x$ = ${x . \frac{e^{30 x}}{30}|}_{0}^{10}$ − $\int_{0}^{10} \frac{e^{30 x}}{30} d x$ = ${(\frac{x . e^{30 x}}{30} - \frac{e^{30 x}}{900})|}_{0}^{10}$

= $\frac{299 e^{300} + 1}{900}$ = $\frac{1}{900} (299 e^{300} + 1)$

Câu 37:

Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) giới hạn bởi hai đường thẳng y = x² – 4; y = x – 2 như hình vẽ bên dưới là

Media VietJack

A. S = $\frac{9 π}{2}$

B. S = $\frac{33}{2}$

C. S = $\frac{9}{2}$

D. S =

\frac{33 π}{2}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm là: x² – 4 = x – 2 Û x² – x – 2 = 0 Û $[\begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix}$

Diện tích hình phẳng là: S = $\int_{- 1}^{2} |x^{2} - x - 2| d x$ = $- \int_{- 1}^{2} (x^{2} - x - 2) d x = {- (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 x)|}_{- 1}^{2} = - \frac{8}{3} + 2 + 4 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{2}$ .

Câu 38:

Trong không gian, cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) : x = −1 và (Q) : x = 2. Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 2) cắt theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 6 – x. Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai đường thẳng (P), (Q) bằng

A. $\frac{33 π}{2}$

B. 93π

C. $\frac{33}{2}$

D. 93

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

V = $π . \int_{a}^{b} {[S (x)]}^{2} d x$ = $π \int_{- 1}^{2} {(6 - x)}^{2} d x$ = 93π.

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 2), B(0; 1; 1) và C(−1; −2; −3). Tính diện tích S của tam giác ABC

A. S = $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

B. S = $5 \sqrt{2}$

C. S = $5 \sqrt{3}$

D. S =

\frac{5 \sqrt{2}}{2}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{A B}$ = (−2; −1; −1); $\vec{A C}$ = (−3; −4; −5)

Diện tích ∆ABC là: S = $\frac{1}{2} . |[\vec{A B} . \vec{A C}]|$ = $\frac{1}{2} . \sqrt{1^{2} + {(- 7)}^{2} + 5^{2}}$ = $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

Vậy S = $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 40:

Cho $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \cos 4 x \cos x d x$ = $\frac{\sqrt{2}}{a} + \frac{b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên, c < 0 và $\frac{b}{c}$ tối giản. Tổng a + b + c bằng

A. −77

B. −17

C. 103

D. 43

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: cos4x . cosx = $\frac{1}{2}$ (cos 3x + cos5x)

Nên I = $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} (\cos 3 x + c o s 5 x) d x$ = $\frac{1}{2} . (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \cos 3 x d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \cos 5 x d x)$

= $\frac{1}{2} . {(\frac{1}{3} \sin 3 x + \frac{1}{5} \sin 5 x)|}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{30} - \frac{13}{60}$

Nên a = 30; b = 13; c = −60

Vậy a + b + c = 30 + 13 – 60 = −17

Câu 41:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 0; 0), B(2; 2; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + y + z – 2 = 0 có phương trình là

A.x + y – 2z – 4 = 0

B. 2x – y – 3z – 2 = 0

C. x + y + z – 1 = 0

D. 2x – y – z – 2 = 0

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

(P) có $\vec{n}$ = (1; 1; 1)

$\vec{n_{α}}$ = $[\vec{A B}, \vec{n}]$ = (−2; 1; 1)

Phương trình mặt phẳn (α) đi qua A(1; 0; 0) và có $\vec{n_{α}}$ là:

−2x + y + z + 2 = 0 Û 2x – y – z – 2 = 0

Vậy (α) : 2x – y – z – 2 = 0

Câu 42:

Tính nguyên hàm $\int \frac{(\ln x + 2) d x}{x \ln x}$ bằng cách đặt t = lnx ta được nguyên hàm nào sau đây?

A. $\int \frac{t d t}{t - 2}$

B. $\int (t + 2) d t$

C. $\int (1 + \frac{2}{t}) d t$

D. $\int \frac{(t + 2) d t}{t^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Đặt t = lnx Û dt = $\frac{1}{x}$ dx

Do đó, ta có : $\int \frac{(t + 2)}{t} d t$ = $\int (1 + \frac{2}{t}) d t$

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S) : x² + y²+ z² – 4x – 2y + 10z – 14 = 0. Mặt phẳng (P) : −x + 4z + 5 = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tọa độ tâm H của (C) là

A. H(1; 1; −1)

B. H(−3; 1; −2)

C. H(9; 1; 1)

D. H(−7; 1; −3)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

(S) : (x – 2)² + (y – 1)² + (z + 5)² = 44

Þ Tâm I(2; 1; −5)

H là hình chiếu của I lên (P)

(P) có $\vec{n}$ = (−1; 0; 4)

d đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình :

$\{\begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 \\ z = - 5 + 4 t \end{matrix}$

Þ H ∈ d nên H(2 – t; 1; −5 + 4t)

H ∈ (P) Û −(2 – t) + 4(−5 + 4t) + 5 = 0 Û t = 1

Þ H(1;1; −1)

Vậy H(1; 1; −1)

Câu 44:

Biết phương trình z² + mz + n = 0 (m; n ∈ ℝ) có một nghiệm là 1 – 3i. Tính n + 3m

A. 4

B. 3

C. 16

D. 6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì 1 – 3i là nghiệm của số phức nên

(1 – 3i)² + m(1 – 3i) + n = 0

Û −8 – 6i + m – 3mi + n = 0

Û $\{\begin{matrix} - 6 - 3 m = 0 \\ - 8 + m + n = 0 \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} m = - 2 \\ n = 10 \end{matrix}$

Vậy 3m + n = 10 – 6 = 4

Câu 45:

Cho số phức z = x + iy (với x; y ∈ ℝ) thỏa mãn: 2z – 5i. $\bar{z}$ = −14 – 7i. Tính x + y

A. 1

B. 7

C. −1

D. 5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

z = x + iy Û $\bar{z}$ = x – iy

2z – 5i. $\bar{z}$ = −14 – 7i

Û 2(x + iy) – 5i(x – iy) = −14 – 7i

Û 2x + 2yi – 5ix + 5i²y = −14 − 7i

Û (2x – 5y) + (2y – 5x)i = −14 – 7i

Û $\{\begin{matrix} 2 x - 5 y = - 14 \\ - 5 x + 2 y = - 7 \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} x = 3 \\ y = 4 \end{matrix}$

Nên x + y = 3 + 4 = 7

Câu 46:

Cho hàm số f(x) = ax³ + bx² – 36x + c (a≠ 0; a, b, c ∈ ℝ) có hai điểm cực trị là −6 và 2. Gọi y = g(x) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng y = f(x) và y = g(x) bằng

A. 160

B. 672

C. 128

D. 64

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

f '(x) = 3ax² + 2bx – 36

Vì f '(x) có 2 điểm cực trị là −6 và 2 nên:

$\{\begin{matrix} 108 a - 12 b - 36 = 0 \\ 12 a + 4 b - 36 = 0 \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} a = 1 \\ b = 6 \end{matrix}$

Ta được: f(x) = x³ + 6x² – 36x + c

Tại x = −6 : f(−6) = −216 + 216 + 216 + c = 216 + c

Tại x = 2 : f(2) = 8 + 24 – 72 + c = −40 + c

g(x) = a’x + b’ đi qua 2 điểm cực trị của f(x) nên :

$\{\begin{matrix} - 6 a' + b' = 216 + c \\ 2 a' + b' = - 40 + c \end{matrix}$ Û $\{\begin{matrix} b' = 216 + c + 6 a' \\ b' = - 40 + c - 2 a' \end{matrix}$

Û 216 + c + 6a’ = −40 + c – 2a’ Þ 256 = −8a’ Þ a’ = −32 Þ b = 24 + c

g(x) = −32x + 24 + c

f(x) = g(x) Û x³ + 6x² – 36x + c = −32x + 24 + c

Û $[\begin{matrix} x = - 6 \\ x = 2 \\ x = - 2 \end{matrix}$

Do đó S = $\int_{- 6}^{2} |f (x) - g (x)| d x$ = 128

Vậy S = 128

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi mặt phẳng (P) : 7x + by + cz + d = 0 (với b, c, d ∈ ℝ; c <0) đi qua điểm A(1; 3; 5). Biết mặt phẳng (P) song song với trục Oy và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng $3 \sqrt{2}$ . Tính T = b + c + d.

A. T = 61

B. T = 78

C. T = 7

D. T = −4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

A ∈ (P) : 7.1 + b.3 + c.5 + d = 0 Û 3b + 5c + d = 0

Oy có vectơ chỉ phương $\vec{j}$ = (0; 1; 0)

(P) // Oy Þ $\vec{n_{P}}$ . $\vec{j}$ = 0 Þ b = 0 nên ta có : 5c + d = −7 Û d = −7 – 5c

d_{(O; (P))} = $\frac{|d|}{\sqrt{7^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ = $3 \sqrt{2}$

Û $\frac{|5 c + 7|}{\sqrt{c^{2} + 49}}$ = $3 \sqrt{2}$

Û |5c + 7| = $3 \sqrt{2}$ . $\sqrt{c^{2} + 49}$

Û (5c + 7)² = 18(c² + 49)

Û 25c² + 70c + 49 = 18c² + 882

Û 7c² + 70c – 833 = 0

Û $[\begin{matrix} c = 7 \\ c = - 17 \end{matrix}$ Û $[\begin{matrix} d = - 42 \\ d = 78 \end{matrix}$

Þ b + c + d = $[\begin{matrix} - 42 + 7 = - 35 \\ - 17 + 78 = 61 \end{matrix}$

Vậy T = b + c + d = 61.

Câu 48:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(−2; −2; 1), A(1; 2; −3) và đường thẳng d : $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1}$ . Gọi $\vec{u}$ = (1; a; b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ đi qua M, ∆ vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất. Giá trị của a + 2b là

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P) chứa ∆

Mặt phẳng (P) qua M(−2; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{P}}$ = $\vec{u_{d}}$ = (2; 2; −1) nên có phương trình : (P) : 2x + 2y – z + 9 = 0

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và ∆. Khi đó: AK ≥ AH nên AK min khi

K ≡ H. Đường thẳng AH đi qua A(1; 2; −3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{d}}$ = (2; 2; −1) nên AH có phương trình tham số:

$\{\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + 2 t \\ z = - 3 - t \end{matrix}$

H ∈ AH Þ H(1 + 2t; 2 + 2t; −3 – t)

H ∈ (P) Þ 2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) –(−3 – t) + 9 = 0 Þ H(−3; −2; −1)

Nên $\vec{u}$ = $\vec{H M}$ = (1; 0; 2)

Vậy a = 0; b = 2 Þ a + 2b = 4

Câu 49:

Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z để số phức w = |z| −

\frac{1}{z - 1}

có phần ảo bằng

\frac{1}{4}

. Biết rằng |z₁ – z₂| = 3 với z₁, z₂ ∈ S, giá trị nhỏ nhất của |z₁ + 2z₂| bằng

A. $\sqrt{5}$ − $\sqrt{3}$

B. $3 \sqrt{5}$ − 3

C. $2 \sqrt{5}$ − $2 \sqrt{3}$

D.

3 \sqrt{5}

−

3 \sqrt{2}

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt z₁ = a + bi (a, b ∈ ℝ), z₂ = c + di

Ta có : $\frac{1}{| z | - z}$ = $\frac{1}{| z | - a - b i}$

Û |z| − $\frac{1}{z - 1}$ = a + bi − $\frac{1}{z - 1}$ = $\frac{1}{2 | z |} + \frac{b}{2 | z |^{2} - 2 a | z |}$

Theo bài ta có: |z| − $\frac{1}{z - 1}$ = $\frac{1}{4}$ Û |z| = 4

|z₁ – z₂| = 3 Û (a – c)² + (b – d)² = 9

Û a²+ b² + c²+ d² – 2(ac + bd) = 9

Û ac + bd = −1

|z₁ + 2z₂| = $\sqrt{{(a + 2 c)}^{2} + {(b + 2 d)}^{2}}$

$= \sqrt{a^{2} + b^{2} + 4 (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d)}$

= $\sqrt{18}$ = $3 \sqrt{2}$ .

Theo tính chất |z + z'| ≤ |z| + |z'| ta có:

|z₁ + 2z₂− 3i| ≥ |z₁ + 2z₂| + |−3i| = $3 \sqrt{5}$ − $3 \sqrt{5}$

Vậy giá trị nhỏ nhất là 3 $\sqrt{5}$ − $3 \sqrt{2}$

Câu 50:

Cho hàm số y = f(x) là hàm liên tục có tích phân trên [0; 2] thỏa mãn điều kiện f(x²) = 6x⁴ + $\int_{0}^{2} x f (x) d x$ . Tính I = $\int_{0}^{2} f (x) d x$

A. I = −8

B. I = −24

C. I = −32

D. I = −6

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Đặt $\int_{0}^{2} x f (x) d x$ = m Û f(x²) = 6x⁴ + m Þ f(x) = 6x² + m

Do đó ta được: $\int_{0}^{2} x (6 x^{2} + m) d x$ = m

Û ${(\frac{6 x^{4}}{4} + m \frac{x^{2}}{2})|}_{0}^{2}$ = m Û 24 + 2m = m Û m = −12

Nên I = $\int_{0}^{2} f (x) d x$ = $\int_{0}^{2} (6 x^{2} - 12) d x$ = −8

Vậy I = −8.