Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn $f\left(x\right)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x.\cos x,$  với mọi x Î ℝ và f (0) = 0. Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x.f\text{'}\left(x\right)dx.$

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; -1; 2) và hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=1-t\\ z=-1\end{array},\right.d_2:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}$ . Đường thẳng D đi qua M và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta }}\left(1;\text{\hspace{0.33em}}a;\text{\hspace{0.33em}}b\right)$ . Tính a + b.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 4y + 2z - 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa trục Oz cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng 6p.

Cho số phức z có phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 5. Modul của số phức 2 - iz là

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{x}-2$ , trục hoành và đường thẳng x = 9. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{t}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{1}$  và điểm

A(1; -2; 0). Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 5 = 0.

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2x - x² và y = 2 - x.

Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; -2; -2), cắt trục Oy, và song song với mặt phẳng (P): 2x + y - 4z + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Cho $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=10$  và $\underset{4}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx=-6$ . Tính $\underset{0}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số$y=\sqrt{x}$ ; y = x - 2 và trục hoành.

Biết 1 - 2i là một nghiệm của phương trình z² + az + b = 0, a, b Î ℝ. Tính a - b.

Số phức z = (2 + 3i) - (5 - i) có phần ảo bằng

Nghịch đảo $\frac{1}{z}$  của số phức z = 2 - i bằng

Cho số phức z thỏa mãn |z - 2 + i| = |z + 2i|. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 0, x = -1, x = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z = 3 - i?