Cho tam giác ABC có $\angle BAC={45}^0.$ Các góc B, C đều nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm CD và BE

a) Chứng minh AE = BE

b) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp này.

c) Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$

d) Cho BC = 2a. Tính diện tích viên phân cung $\stackrel{⏜}{DE}$ của đường tròn (O) theo a

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H $\left(D\in AC,E\in AB\right)$

a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp. Từ đó suy ra $\angle BCD=\angle AED$

b) Kẻ đường kính AK. Chứng minh $AB.BC=AK.BD$

c) Từ O kẻ $OM\perp BC\left(M\in BC\right).$ Chứng minh H, M, K thẳng hàng.

Cho phương trình : $m{x}^2-\left(2m+3\right)x+m-4=0$

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cho phương trình $m{x}^2-2\left(m+1\right)x+4m=0$ (m là tham số, $m\ne 0)$

Tìm m để phương trình có nghiệm kép

Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính BC = 2a và một điểm A nằm trên nửa đường tròn sao cho AB = a. Trên cung AC lấy điểm M, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt đường thẳng CM tại D

a) Chứng minh $\Delta AOB$ là tam giác đều

b) Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn, xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

c) Cho $\angle ABM={45}^0.$ Tính độ dài cung AI và $S_{quat}$ AKI của đường tròn tâm K theo a

Tìm hai số u, v trong trường hợp sau :

$u^2+v^2=13,uv=6$

Cho phương trình $\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m-2=0\left(1\right)$ (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = 3

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa : $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3}{2}$

Cho parabol $\left(P\right):y=-x^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=mx-2$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)=0$

Cho phương trình $x^2-\left(m+3\right)x-2m^2+2=0(m$ là tham số)

Cho phương trình $x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0$ (m là tham số)

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x_1^2+x_2^2$

Cho phương trình $x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\left(1\right)$

a) Giải phương trình (1) với m = 3

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa : $x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2>3$

Tìm hai số u, v trong trường hợp sau :

$u+v=15,uv=36$