Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un=2un+1−1,∀n∈N* , có tính chất:

Trả lời: un=2un+1−1⇒un+1=un+12 Ta có: un=un−1+12 ⇒un+1−un=un+12−un =un+12−un−1+12 =12un−un−1 Tương tự ta có: ⇒un−un−1=12un−1−un−2 Tiếp tục như vậy ta được: un+1−un=12un−un−1 un−un−1=12un−1−un−2un−1−un−2=12un−2−un−3 …. u4−u3=12u3−u2 u3−u2=12u2−u1 ⇒un+1−unun−un−1un−1−un−2...u4−u3u3−u2 =12un−un−1.12un−1−un−2.12un−2−un−3...12u3−u2.12u2−u1 ⇒un+1−un=12n−1.u2−u1 ⇔un+1−un=12n−1.u2−u1 Ta có: u1=2u2−1 ⇒u2=32 ⇒un+1−un=12n−1.32−2=−12n<0 ⇒unlà dãy số giảm un+1−un=−12n ⇔un+1=un−12n Mà un=2un+1−1 ⇒un=2un−12n−1 ⇔un=2un−12n−1−1 ⇔un=1+12n−1<1+1=2 ⇒1<un<2 Do đó (un) là dãy số bị chặn. Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi:

07/07/2024 115

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁= 2 và $u_{n} = 2 u_{n + 1} - 1, \forall n \in N *$ , có tính chất:

A. là dãy số tăng và bị chặn.

B. là dãy số giảm và bị chặn.

Đáp án chính xác

C. là dãy số giảm và không bị chặn

D. là dãy số tăng và không bị chặn.

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trả lời:

$u_{n} = 2 u_{n + 1} - 1 \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}$

Ta có:

$u_{n} = \frac{u_{n - 1} + 1}{2}$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{u_{n} + 1}{2} - u_{n}$

$= \frac{u_{n} + 1}{2} - \frac{u_{n - 1} + 1}{2}$

$= \frac{1}{2} (u_{n} - u_{n - 1})$

Tương tự ta có: $\Rightarrow u_{n} - u_{n - 1} = \frac{1}{2} (u_{n - 1} - u_{n - 2})$

Tiếp tục như vậy ta được:
$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2} (u_{n} - u_{n - 1})$

$u_{n} - u_{n - 1} = \frac{1}{2} (u_{n - 1} - u_{n - 2})$
$u_{n - 1} - u_{n - 2} = \frac{1}{2} (u_{n - 2} - u_{n - 3})$

….
$u_{4} - u_{3} = \frac{1}{2} (u_{3} - u_{2})$

$u_{3} - u_{2} = \frac{1}{2} (u_{2} - u_{1})$

$\Rightarrow (u_{n + 1} - u_{n}) (u_{n} - u_{n - 1}) (u_{n - 1} - u_{n - 2}) ... (u_{4} - u_{3}) (u_{3} - u_{2})$

$= \frac{1}{2} (u_{n} - u_{n - 1}) . \frac{1}{2} (u_{n - 1} - u_{n - 2}) . \frac{1}{2} (u_{n - 2} - u_{n - 3}) ... \frac{1}{2} (u_{3} - u_{2}) . \frac{1}{2} (u_{2} - u_{1})$

$\Rightarrow (u_{n + 1} - u_{n}) = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} . (u_{2} - u_{1})$

$\Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}} . (u_{2} - u_{1})$

Ta có:

$u_{1} = 2 u_{2} - 1$

$\Rightarrow u_{2} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}} . (\frac{3}{2} - 2) = - \frac{1}{2^{n}} < 0$

$\Rightarrow (u_{n})$ là dãy số giảm

$u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{2^{n}}$

$\Leftrightarrow u_{n + 1} = u_{n} - \frac{1}{2^{n}}$

Mà $u_{n} = 2 u_{n + 1} - 1$

$\Rightarrow u_{n} = 2 (u_{n} - \frac{1}{2^{n}}) - 1$

$\Leftrightarrow u_{n} = 2 u_{n} - \frac{1}{2^{n - 1}} - 1$

$\Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{n - 1}} < 1 + 1 = 2$

$\Rightarrow 1 < u_{n} < 2$

Do đó (u_n) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: B

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho dãy số (u_n), biết , $\{\begin{matrix} u_{1} = - 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 3 \end{matrix}$ với $n \geq 1$ . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là những số nào dưới đây?

Xem đáp án » 15/10/2022 185

Câu 2:

Cho dãy số (u_n), biết u_n= (−1)ⁿ.2n. Mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án » 15/10/2022 180

Câu 3:

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_{1} = \frac{1}{2}$ và $u_{n} = u_{n - 1} + 2 n$ với mọi n ≥ 2. Khi đó u₅₀ bằng:

Xem đáp án » 15/10/2022 145

Câu 4:

Cho dãy số (x_n) với $x_{n} = \frac{a n + 4}{n + 2}$ . Dãy số (x_n) là dãy số tăng khi:

Xem đáp án » 15/10/2022 144

Câu 5:

Kí hiệu k! = k(k − 1)...2.1, ∀k∈N∗. Với n∈N*, đặt S_n= 1.1! + 2.2! + ... + n.n!

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án » 15/10/2022 141

Câu 6:

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 1}$ . Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

Xem đáp án » 14/10/2022 139

Câu 7:

Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

Xem đáp án » 15/10/2022 138

Câu 8:

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n + 1}$ . Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

Xem đáp án » 14/10/2022 132

Câu 9:

Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

Xem đáp án » 15/10/2022 131

Câu 10:

Cho dãy số (u_n), biết $u_{n} = \frac{- n}{n + 1}$ . Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

Xem đáp án » 15/10/2022 130

Câu 11:

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Xem đáp án » 14/10/2022 130

Câu 12:

Cho dãy số (x_n) xác định bởi x₁= 5 và $x_{n + 1} = x_{n} + n, \forall n \in N *$ . Số hạng tổng quát của dãy số (x_n) là:

Xem đáp án » 15/10/2022 128

Câu 13:

Cho hai dãy số (x_n) với $x_{n} = \frac{(n + 1)!}{2^{n}}$ và (y_n) với y_n= n + sin²(n + 1) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án » 15/10/2022 128

Câu 14:

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Xem đáp án » 15/10/2022 124

Câu 15:

Với mọi số nguyên dương n, tổng S_n= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) là:

Xem đáp án » 15/10/2022 124

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 4598 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 3542 lượt thi Thi thử
Câu ước

2 đề 2979 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 2333 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Tiếng Anh có đáp án

3 đề 2294 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề đời sống - Đề 1

2 đề 1989 lượt thi Thi thử
Tìm lỗi sai trong câu

2 đề 1701 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 1685 lượt thi Thi thử
Tế bào nhân sơ (Phần 1)

2 đề 1667 lượt thi Thi thử
Thì quá khứ hoàn thành

2 đề 1455 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »