Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{1}{{ax + b}},a \ne 0\)
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{{(ax + b)}^2}}},y'' = \frac{{{a^2}.2}}{{{{(ax + b)}^3}}},y''' = \frac{{ - {a^3}.2.3}}{{{{(ax + b)}^4}}}\)
Ta chứng minh: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)
\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^1}.{a^1}.1!}}{{{{(ax + b)}^2}}} = - \frac{a}{{{{(ax + b)}^2}}}\) đúng
\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!}}{{{{(ax + b)}^{k + 1}}}}\)
\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!.\left[ {{{(ax + b)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(ax + b)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.{a^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Nếu \(f''\left( x \right) = \frac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) thì \(f\left( x \right)\) bằng
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp \(5\) bằng :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\). Xét hai mệnh đề :
Mệnh đề nào đúng?
Hàm số \(y{\rm{ }} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đạo hàm cấp 5 bằng:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{x}\). Xét hai mệnh đề :
\(\left( I \right):y'' = f''\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}\). \(\left( {II} \right):y''' = f'''\left( x \right) = - \frac{6}{{{x^4}}}\).
Mệnh đề nào đúng?
Hàm số \[y = {\left( {{x^2} + {\rm{ }}1} \right)^3}\] có đạo hàm cấp ba là:
Hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) . Phương trình \({f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là:
Hàm số \[y = {\left( {2x + 5} \right)^5}\] có đạo hàm cấp \(3\) bằng :
Hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\) có đạo hàm cấp \(2\) bằng :
