Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z−1=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=z+i+z−2−i

Chọn B Đặt z=x+yi x,y∈ℝ ta có z−1=2⇔x−1+yi=2⇔x−12+y2=2 ⇔x−12+y2=2⇔x2+y2=2x+1 (*). Lại có T=z+i+z−2−i=x+y+1i+x−2+y−1i=x2+y2+2y+1+x2+y2−4x−2y+5 Kết hợp với (*) ta được T=2x+2y+2+6−2x−2y=2x+y+2+6−2x+y Đặt T = x + y, khi đó T=ft=2t+2+6−2t với t∈−1;3 Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số Ta có f't=12t+2−16−2t; f't=0⇔t=1 Mà f1=4,f−1=22,f3=22. Vậy maxft=f1=4 Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có T=2t+2+6−2t≤1+1.8=4 Đẳng thức xảy ra khi t = 1

Câu hỏi:

23/06/2023 43

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 1| = \sqrt{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z + i| + |z - 2 - i|$

A. $\max T = 8 \sqrt{2}$

B. maxT = 4

Đáp án chính xác

C. $\max T = 4 \sqrt{2}$

D. maxT = 8

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ ta có

$|z - 1| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - 1 + y i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x + 1$ ().

Lại có

$T = |z + i| + |z - 2 - i| = |x + (y + 1) i| + |x - 2 + (y - 1) i| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5}$

Kết hợp với () ta được

$T = \sqrt{2 x + 2 y + 2} + \sqrt{6 - 2 x - 2 y} = \sqrt{2 (x + y) + 2} + \sqrt{6 - 2 (x + y)}$

Đặt T = x + y, khi đó $T = f (t) = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t}$ với $t \in [- 1; 3]$

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có $f' (t) = \frac{1}{\sqrt{2 t + 2}} - \frac{1}{\sqrt{6 - 2 t}}; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Mà $f (1) = 4, f (- 1) = 2 \sqrt{2}, f (3) = 2 \sqrt{2}$ . Vậy $\max f (t) = f (1) = 4$

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

$T = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t} \leq \sqrt{(1 + 1) .8} = 4$

Đẳng thức xảy ra khi t = 1

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M là

Xem đáp án » 23/06/2023 109

Câu 2:

Trong các số phức z thỏa mãn $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|$ , số phức z có môđun nhỏ nhất là

Xem đáp án » 23/06/2023 68

Câu 3:

Xét số phức z thỏa mãn $4 |z + i| + 3 |z - i| = 10$ . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là

Xem đáp án » 23/06/2023 68

Câu 4:

Cho z số phức thỏa mãn $|z + i| = |\bar{z} + 2 + i|$ . Giá trị nhỏ nhất của $P = |(i - 1) z + 4 - 2 i|$ là

Xem đáp án » 23/06/2023 59

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 3 + 4 i| = 4$ . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z . Giá trị của M.m bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 55

Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 3| + |z - 3| = 10$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là

Xem đáp án » 23/06/2023 51

Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 3 - 4 i| = 1$ . Môđun lớn nhất của số phức z bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 50

Câu 8:

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

Xem đáp án » 23/06/2023 50

Câu 9:

Cho số phức $z = a + (a - 3) i, (a \in ℝ)$ . Giá trị của a để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 47

Câu 10:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |1 + z| + 3 |1 - z|$ bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 47

Câu 11:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 2$ . Giá trị lớn nhất của $|z + 3 - i|$ bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 46

Câu 12:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 + i| - |z + 1 - 3 i| = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1 - 4 i|$ bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 46

Câu 13:

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} + 4| = |z (z + 2 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + i|$ bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 45

Câu 14:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z + 1| + |z^{2} + z + 1|$ . Khi đó giá trị của M + m bằng

Xem đáp án » 23/06/2023 45

Câu 15:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} + z_{2}| = 6$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ . Khi đó môđun của số phức M + mi là

Xem đáp án » 23/06/2023 44

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 35875 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản

6 đề 35139 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 32304 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 22490 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 20668 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 17924 lượt thi Thi thử
Đề thi thử Hình học không gian trong đề thi Đại học 2017 có lời giải

23 đề 17228 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit nâng cao

9 đề 16884 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân nâng cao

6 đề 12411 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản

9 đề 12165 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »