Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trong (B, C là hai tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt *O) tại D (D khác B), đường thẳng AD cắt (O) tại E (E khác D).

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp,

b) Chứng minh: AE.AD = AB²

c) Chứng minh $\hat{C E A} = \hat{B E C}$

d) Giả sử OA = 3R. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, BD theo R

Giải bởi Vietjack

a) là hai tiếp tuyến)
là tứ giác nội tiếp

b) Xét $∆ O E B v à ∆ O B D c ó$ : $\hat{E B A} = \hat{B D A} (c ù n g c h ắ n c u n g B E)$

$\hat{D A B} c h u n g \Rightarrow ∆ E B A ~ ∆ B D A (g - g) \Rightarrow \frac{E A}{B A} = \frac{B A}{D A} \Rightarrow A B^{2} = A E . A D (d p c m)$

c) Gọi I là giao điểm của CO và BD

$B D / / C A, C O ⊥ A C \Rightarrow B D ⊥ C I$

$X é t ∆ O B D c â n t ạ i O c ó đ ư ờ n g c a o O I \Rightarrow O I c ũ n g l à đ ư ờ n g t r u n g t r ự c c ủ a đ o ạ n B D \Rightarrow C B = C D \Rightarrow \overset{⏜}{B C} = \overset{⏜}{D C} \Rightarrow \hat{B D C} = \hat{D B C} (h a i g ó c n ộ i t ế p c ù n g c h ắ n h a i c u n g b ằ n g n h a u)$

$L ạ i c ó : \hat{D E C} = \hat{D B C} \Rightarrow \hat{D E C} = \hat{B D C} (3)$

$T ứ g i á c C E D B n ộ i t i ế p đ ư ờ n g t r ò n (O) n ê n \hat{B D C} + \hat{B E C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{B E C} = 180^{o} - \hat{B D C} (1) M à \hat{D E C} + \hat{C E A} = 180^{o} \Rightarrow \hat{C E A} = 180^{o} - \hat{D E C} (2)$

$T ừ (1), (2), (3) \Rightarrow \hat{B E C} = \hat{C E A} (d p c m)$

d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. K là hình chiếu của B lên CA

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác OBA vuông tại B, ta có:

$O B^{2} + A B^{2} = O A^{2} \Rightarrow A B = \sqrt{O A^{2} - O B^{2}} = 2 R \sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức ượng vào tam giác OBA vuông tại B, đường cao BH, ta có:

Dễ dàng chứng minh BH = CH

$\Rightarrow 2 B H = \frac{4 \sqrt{2}}{3} R v à A C = A B = 2 \sqrt{2} R$

Trong tam giác ABC có:

Vậy khoảng cách từ BD đến AC là $\frac{16}{9} R$

Xem đáp án » 01/07/2023 69

Xem đáp án » 01/07/2023 66

Xem đáp án » 01/07/2023 51

Xem thêm »

Xem thêm »

Xem thêm »