Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trong (B, C là hai tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt *O) tại D (D khác B), đường thẳng AD cắt (O) tại E (E khác D).

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp,

b) Chứng minh: AE.AD = AB²

c) Chứng minh $\widehat{CEA}=\widehat{BEC}$

d) Giả sử OA = 3R. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, BD theo R

a)     là hai tiếp tuyến)

là tứ giác nội tiếp

b) Xét $∆OEB và ∆OBD có$: $\widehat{EBA}=\widehat{BDA} (cùng chắn cung BE)$

$$\begin{gathered} \widehat{DAB} chung \Rightarrow ∆EBA ~ ∆BDA (g-g) \\ \Rightarrow \frac{EA}{BA}=\frac{BA}{DA}\Rightarrow A{B}^2=AE.AD \left(dpcm\right) \end{gathered}$$

c) Gọi I là giao điểm của CO và BD

$BD//CA, CO\perp AC \Rightarrow BD\perp CI$

$$\begin{gathered} Xét ∆OBD cân tại O có đường cao OI \Rightarrow OI cũng là đường trung trực \\ của đoạn BD \Rightarrow CB=CD \Rightarrow \stackrel{⏜}{BC}=\stackrel{⏜}{DC}\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{DBC}(hai góc nội tếp \\ cùng chắn hai cung bằng nhau) \end{gathered}$$

$Lại có: \widehat{DEC}=\widehat{DBC}\Rightarrow \widehat{DEC}=\widehat{BDC} \left(3\right)$

$$\begin{gathered} Tứ giác CEDB nội tiếp đường tròn \left(O\right) nên \widehat{BDC}+\widehat{BEC}={180}^o \\ \Rightarrow \widehat{BEC}={180}^o-\widehat{BDC} \left(1\right) \\ Mà \widehat{DEC}+\widehat{CEA}={180}^o\Rightarrow \widehat{CEA}={180}^o-\widehat{DEC} \left(2\right) \end{gathered}$$

$Từ \left(1\right), \left(2\right), \left(3\right) \Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{CEA} \left(dpcm\right)$

d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. K là hình chiếu của B lên CA

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác OBA vuông tại B, ta có:

$O{B}^2+A{B}^2=O{A}^2\Rightarrow AB=\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=2R\sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức ượng vào tam giác OBA vuông tại B, đường cao BH, ta có:

Dễ dàng chứng minh BH = CH

$\Rightarrow 2BH=\frac{4\sqrt{2}}{3}R và AC=AB=2\sqrt{2}R$

Trong tam giác ABC có:

Vậy khoảng cách từ BD đến AC là $\frac{16}{9}R$