Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.
a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.
c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét DABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC và BC nên DE là đường trung bình của tam giác
Do đó DE // AB hay DE // AF.
Ta có AB ⊥ AC và DE // AB nên DE ⊥ AC hay \(\widehat {ADE} = 90^\circ \).
Xét tứ giác ADEF có: \(\widehat {FAD} = \widehat {ADE} = \widehat {AFE} = 90^\circ \)
Do đó ADEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
b) Tứ giác AECG có hai đường chéo AC và GE cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo EG ⊥ AC (do DE ⊥ AC)
Do đó AECG là hình thoi.
c) Do ADEF là hình chữ nhật nên hai đường chéo AE và DF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hay O là trung điểm của AE.
Do AECG là hình thoi nên EC // AG và EC = AG
Lại có BE = EC (do E là trung điểm của BC) nên BE = AG.
Xét tứ giác ABEG có BE // AG (do EC // AG) và BE = AG
Do đó ABEG là hình bình hành
Suy ra hai đường chéo AE và BG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà O là trung điểm của AE nên O là trung điểm của BG
Do đó ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Do ADEF là hình chữ nhật nên AF = DE.
Mà DE = DG nên DG = AF.
Xét tứ giác AFDG có: DG = AF và DG // AF (do DE // AB)
Do đó AFDG là hình bình hành.
Suy ra AG // DF
Lại có EH ⊥ AG nên EH ⊥ DF
Xét DEHG vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Nên HD = ED = \(\frac{1}{2}EG\).
Khi đó DEDH là tam giác cân tại D
Suy ra đường cao DF của tam giác đồng thời là đường phân giác.
Hay \(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\).
Xét DEDF và DHDF có:
DF là cạnh chung;
\(\widehat {EDF} = \widehat {HDF}\) (chứng minh trên);
ED = HD (chứng minh trên)
Do đó DEDF = DHDF (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {FED} = \widehat {FHD}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {FED} = 90^\circ \) (do ADEF là hình chữ nhật)
Do đó \(\widehat {FHD} = 90^\circ \), nên tam giác DHF vuông tại H.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Gọi M là điểm nằm ở giữa B và C. Kẻ MN vuông với AB, MP vuông góc với AC (N thuộc AB, P thuộc AC ) tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao?
c) Tính số đo góc NHP?
d) Tìm vị trí M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất?
Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
a) Tính góc .NMC.
b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.
c) Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. Chứng minh , suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh: M, I, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M hạ MP vuông góc với AB (P ∈ AB), MQ vuông góc với AC (Q ∈ AC). Gọi R là điểm đối xứng M qua P.
a) Tứ giác AQMP là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác AMBR là hình gì? Vì sao?
c) Để tứ giác AQMP là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì?
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn \(\left( {O;\frac{1}{2}BC} \right)\) cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh rằng: CD vuông góc với AB, BE vuông góc với AC.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK vuông góc với BC.
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ ba của nửa đường tròn (O), cắt Ax ở C và cắt By ở D. Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).
b) MN ⊥ AB.
c) \[\widehat {COD} = 90^\circ \].
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
