Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ ba của nửa đường tròn (O), cắt Ax ở C và cắt By ở D. Gọi N là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).
b) MN ⊥ AB.
c) \[\widehat {COD} = 90^\circ \].
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì CA, CM là tiếp tuyến của (O) nên CA = CM.
Tương tự DB = DM.
Vì AC, DB là tiếp tuyến của (O) \( \Rightarrow AC \bot AB,BD \bot AB\)
\( \Rightarrow AC\,{\rm{//}}\,DB\)
\[ \Rightarrow \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{CN}}{{NB}} = \frac{{CM}}{{MD}}\] (hệ quả định lí Talet).
\( \Rightarrow \frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).
b) Theo chứng minh ở câu a ta có: \(\frac{{CN}}{{NB}} = \frac{{CM}}{{MD}}\)
\( \Rightarrow MN//BD\) (định lí Talet đảo).
Mà \(BD \bot AB \Rightarrow MN \bot AB\).
c) Ta có CM, CA là tiếp tuyến của (O)
Þ OC là phân giác của \(\widehat {AOM}\) nên \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\).
Tương tự OD là phân giác của \(\widehat {BOM}\) nên \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\).
Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = \widehat {AOB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {COM} + \widehat {DOM} = 90^\circ \) hay \(\widehat {COD} = 90^\circ \).
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F.
a) Chứng minh rằng DE //AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
b) Trên tia đối của tia DE lấy điểm G sao cho DG = DE. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.
c) Gọi O là giao điểm của AE và DF. Chứng minh rằng ba điểm B, O, G thẳng hàng.
d) Vẽ EH vuông góc với AG tại H. Chứng minh rằng tam giác DHF vuông.
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC > CB, C khác A và B. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Kẻ OI vuông góc với AC tại I.
a) Chứng minh bốn điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O; R), tia OI cắt Ax tại M, chứng minh OI.OM = R2. Tính độ dài đoạn thẳng OI biết OM = 2R và R = 6 cm.
c) Gọi giao điểm của BM với CH là K. Chứng minh tam giác AMO đồng dạng với tam giác HCB và KC = KH.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh: AH.BC = AB.AC.
b) Gọi M là điểm nằm ở giữa B và C. Kẻ MN vuông với AB, MP vuông góc với AC (N thuộc AB, P thuộc AC ) tứ giác ANMP là hình gì? Vì sao?
c) Tính số đo góc NHP?
d) Tìm vị trí M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất?
Cho tam giác ABC vuông tại A có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
a) Tính góc .NMC.
b) Gọi E là điểm đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình thoi.
c) Lấy D là điểm đối xứng với E qua BC. Tứ giác ACDB là hình gì? Tại sao?
d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông?
Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. Chứng minh: AF.AB = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. Chứng minh , suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M, EB cắt DF tại N. Chứng minh: M, I, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn \(\left( {O;\frac{1}{2}BC} \right)\) cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh rằng: CD vuông góc với AB, BE vuông góc với AC.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AK vuông góc với BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M hạ MP vuông góc với AB (P ∈ AB), MQ vuông góc với AC (Q ∈ AC). Gọi R là điểm đối xứng M qua P.
a) Tứ giác AQMP là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác AMBR là hình gì? Vì sao?
c) Để tứ giác AQMP là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì?
Cho phương trình x2 – 2x – 2m2 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 = 4x_2^2\).
