Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh .
b) EF cắt CB tại M. Chứng minh MB.MC = ME.MF.
c) Biết SABC = 24, BD = 3 và CD = 5. Tính SBHC.
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Xét ∆BAE và ∆CAF, có:
\(\widehat A\) chung;
\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = 90^\circ \).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\).
Xét ∆AEF và ∆ABC, có:
\(\widehat A\) chung;
\(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\,\,\,\left( {do\,\,\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}} \right)\).
Do đó (c.g.c).
b) Ta có \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\) (do ) và \(\widehat {AFE} = \widehat {MFB}\) (2 góc đối đỉnh).
Suy ra \(\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\).
Xét ∆MFB và ∆MCE, có:
\(\widehat M\) chung;
\(\widehat {MFB} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{MF}}{{MC}} = \frac{{MB}}{{ME}}\).
Vậy ME.MF = MB.MC (điều phải chứng minh).
c) Ta có \({S_{ABC}} = 24 \Leftrightarrow \frac{1}{2}AD.BC = 24\)
⇔ AD.(BD + CD) = 48 ⇔ AD.(3 + 5) = 48.
⇔ AD = 6.
Ta có:
⦁ \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) (do tam giác BHD vuông tại D);
⦁ \(\widehat {AHE} + \widehat {HAE} = 90^\circ \) (do tam giác AHE vuông tại E);
⦁ \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) (hai góc đối đỉnh).
Suy ra \(\widehat {HBD} = \widehat {HAE}\).
Xét ∆BHD và ∆ACD, có:
\(\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \);
\(\widehat {HBD} = \widehat {DAC}\) (chứng minh trên).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{HD}}{{CD}}\).
Khi đó \(HD = \frac{{CD.BD}}{{AD}} = \frac{{5.3}}{6} = \frac{5}{2}\).
Vậy \({S_{BHC}} = \frac{1}{2}HD.BC = \frac{1}{2}.\frac{5}{2}.\left( {3 + 5} \right) = 10\).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh và SAEF = cos2A.SABC.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh PH = QH.
c) Chứng minh \(\cot A + \cot B + \cot C \ge \sqrt 3 \).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC (D trên AB, E trên AC). Gọi O là giao điểm của AH và DE.
a) Chứng minh AH = DE.
b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh tứ giác DEQP là hình thang vuông.
c) Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ.
d) Chứng minh SABC = 2SDEQP.
Cho tam giác đều ABC cạnh a, điểm M là trung điểm BC. Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
a) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {MA} \);
b) \(\overrightarrow {BA} - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \);
c) \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \);
d) \(\frac{3}{4}\overrightarrow {MA} - 2,5\overrightarrow {MB} \).
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.
1) Xác định hình tính của tứ giác AMON.
2) Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để MN là tiếp tuyến của (O)?
3) Tính diện tích tứ giác AMON.
Tam giác ABC có AB = AC, tia phân giác của \(\widehat A\) cắt BC tại D.
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
b) Lấy điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AC sao cho BE = CF. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\).
Cho đường tròn (O; R), đường kính MN. Qua M và N vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở A và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với AP và cắt đường thẳng (d’) ở B.
a) Chứng minh OA = OP.
b) Hạ OH vuông góc với AB. Chứng minh OH = R và AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Chứng minh AM.BN = R2.
d) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC có AB = AC. Tia phân giác \(\widehat A\) cắt BC tại D.
a) Chứng minh DB = DC.
b) Chứng minh AD vuông góc BC.
Cho tứ diện ABCD với \(AC = \frac{3}{2}AD,\,\,\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = 60^\circ ,\,\,CD = AD\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chọn khẳng định đúng về góc φ.
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
b) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d (B, C nằm cùng phía đối với d). Kẻ BM và CN vuông góc với d. Chứng minh rằng:
a) ∆BAM = ∆ACN;
b) MN = BM + CN.
Cho biểu thức \(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - 2x + 1}}:\left( {\frac{{x + 1}}{x} - \frac{1}{{1 - x}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{{x^2} - x}}} \right)\).
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P < 1.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 2.
