Cho tam giác ABC, trọng tâm G.
a) Vẽ đường thẳng d qua G, cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A', B', C' là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA', BB', CC'
b) Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G' là hình chiếu của G trên d thì các độ dài AA', BB', CC', GG' có liên hệ gì?
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a)
Gọi M là trung điểm của BC
M' là hình chiếu của M lên d
Þ MM' // BB' // CC'
Þ MM' là đường trung bình của hình thang vuông BB'C'C
\[ \Rightarrow MM' = \frac{1}{2}\left( {BB' + CC'} \right)\]
Xét ∆AA'G và ∆MM'G có:
\(\widehat {A'} = \widehat {M'} = 90^\circ \)
\[\widehat {A'AG} = \widehat {MM'G}\] (so le trong)
Do đó ∆AA'G ᔕ ∆MM'G (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{AA'}}{{MM'}} = \frac{{AG}}{{GM}}\)
Áp dụng tính chất của trọng tâm, ta có:
\(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AG}}{{GM}} = 2\)
Do đó: \(\frac{{AA'}}{{MM'}} = 2\)
\( \Rightarrow AA' = 2MM' = 2 \cdot \frac{1}{2}\left( {BB' + CC'} \right) = BB' + CC'\)
Vậy AA' = BB' + CC'.
b)
Gọi BE là đường trung tuyến của của AC, M là trung điểm của BG.
Vẽ AA', BB', CC', II', MM' vuông góc với d.
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra
\(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{BG}}{{GE}} = 2 \Rightarrow \frac{{2.MG}}{{GE}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \frac{{MG}}{{GE}} = 1 \Rightarrow \frac{{MG}}{{ME}} = \frac{1}{2}\)
Suy ra G là trung điểm của ME
M', G', E' là hình chiếu của M, G, E lên d
Þ MM' // GG' // EE'
Þ GG' là đường trung bình của hình thang vuông MM'E'E
Chứng minh tương tự ta có MM' là đường trung bình của hình thang vuông BB'G'G.
Và EE' là đường trung bình của hình thang vuông AA'C'C.
Khi đó ta có:
MM' + EE' = 2GG'
Þ 2MM' + 2EE' = 4GG'
Þ BB' + GG' + AA' + CC' = 4GG'
Þ AA' + BB' + CC' = 3GG'
Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt C và D (C nằm giữa M và D)
a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
b) Chứng minh MA2 = MC.MD
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Chứng minh OM // CB.
c) Vẽ BK vuông góc với AC tại K. Chứng minh: CK.OM = OB.CB.
d) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt AB tại D. Chứng minh OD ^ CM.
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
a) CM: CD = AC + BD.
b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.
c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.
d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.
Cho đường tròn tâm O và BC là dây cung không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho M không trùng với B. Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) đã cho tại N và P (N nằm giữa M và P) sao cho O nằm trong PMC. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ NP. Các dây AB và AC lần lượt cắt NP tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
b) Chứng minh MB.MC = MN.MP.
Cho phương tình 3x − 2y = 6. (1)
a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1);
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).
a) CMR: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.
b) So sánh độ dài AC và BD. Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì thì AC = BD
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB; Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn lấy điểm D (D khác A, B). Tiếp tuyến tại D của (O) cắt Ax ở S.
a) Chứng minh SO // BD.
b) BD cắt AS ở C. Chứng minh SA = SC.
c) Kẻ DH vuông góc với AB; DH cắt BS tại E. Chứng minh E là trung điểm của DH.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên đường tròn (M khác A,B) vẽ tiếp tuyến thứ ba nó cắt Ax ở C cắt By ở D. Gọi N là giao điểm của BC và AD.
a) CMR: \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).
b) CM: MN ^ AB.
c) CMR: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).
