Trên các cạnh AB, BC, CA của ∆ABC lần lượt lấy 2, 4, n (n > 3) điểm phân biệt (các điểm không trùng với các đỉnh của tam giác). Tìm n, biết rằng số tam giác có các đỉnh thuộc n + 6 điểm đã cho là 247.
Giải bởi Vietjack
Nhận xét: Mỗi tam giác được lập thành do một cách chọn 3 điểm sao cho 3 điểm đó không thẳng hàng tức là không cùng nằm trên một cạnh của ∆ABC.
Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ n + 6 điểm đã cho có: \(C_{n + 6}^3\) cách.
Chọn 3 điểm chỉ nằm trên đúng 1 cạnh của ∆ABC có: \(C_4^3 + C_n^3\) (cách).
Số tam giác lập thành là: \(C_{n + 6}^3 - \left( {C_4^3 + C_n^3} \right) = 247\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 6} \right)!}}{{3!.\left( {n + 3} \right)!}} - \left( {4 + \frac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}}} \right) = 247\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right)}}{6} - \left( {4 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6}} \right) = 247\)
\( \Leftrightarrow \left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right) - n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 1506\)
\( \Leftrightarrow 18{n^2} + 72n - 1386 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = - 11\left( L \right)}\\{n = 7\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy n = 7.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AD = CD và AC ⊥ BC. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD và cắt AB tại E.
a. Chứng minh tứ giác AECD là hình thoi.
b. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.
c. Chứng minh ∆CEB cân.
Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và \(\widehat A\)= 60°. Tính cạnh BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính MN?
∆ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tìm hệ thức thể hiện quan hệ 3 cạnh của tam giác.
Tính tổng: \({\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \).
Cho ∆ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau ở D. Chứng minh:
a. ∆BDC cân.
b. AD là tia phân giác của góc A và DA là tia phân giác của \(\widehat D\).
c. AD ⊥ BC và AD đi qua trung điểm của BC.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn. Tia phân giác của \(\widehat {CAx}\) cắt nửa đường tròn tại E, AE và BC cắt nhau tại K. Chứng minh:
a. ∆ABK cân tại B.
b. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh: KI // Ax.
c. Chứng minh: OE // BC.
d. BI cắt Ax tại F. Chứng minh: tứ giác AIKF là hình thoi.
Chứng minh rằng với mọi tập hợp A, B, C: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ ,\)AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm. Tính các góc của hình thang ?
Cho n ∈ ℕ, chứng minh rằng \({n^2} + n + 1\) không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5.
Giá trị của
\(M = {\cos ^2}15 + {\cos ^2}25 + {\cos ^2}35 + {\cos ^2}45 + {\cos ^2}105 + {\cos ^2}115 + {\cos ^2}125\)là ?
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(\frac{2}{5}{x^2} + 5{x^3} + {x^2}y\).
Cho phương trình \(\cot x = \sqrt 3 \). Tính các nghiệm của phương trình ?
Giải phương trình sau: \(3\cos x + 2\left| {\sin x} \right| = 2\).
