Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh A, \(\widehat {BAD} = 120^\circ \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt đáy, (SC;(ABCD)) = 45°. Gọi G là trọng tâm ∆ABC, tính khoảng cách h từ G đến (SCD) theo a.
Giải bởi Vietjack
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với (ABCD) nên SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, Cd khi đó G = CM ∩ BO. Ta có:
AM // CD ⇒ d(M, (SCD)) = d(A, (SCD)). Lại có
\(\frac{{GC}}{{MC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{2}{3}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\). ∆ACD đều nên AN ⊥ CD, mà CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAN) ⇒ (SAN) ⊥ (SCD)
Dựng AK ⊥ SN ⇒ AK ⊥ (SCD) ⇒ d(A, (SCD)) = AK. Do SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) suy ra (SC, (ABCD)) = (SC, AC) = \(\widehat {SCA} = 45^\circ \)
⇒ AC = SA = a. Ta tính được AN = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). ∆SAN vuông tại A, đường cao AK nên ta có:
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy d(G, (SCD)) = \(\frac{2}{3}AK = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\).
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AD = CD và AC ⊥ BC. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD và cắt AB tại E.
a. Chứng minh tứ giác AECD là hình thoi.
b. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.
c. Chứng minh ∆CEB cân.
Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30 cm, đáy nhỏ CD = 10 cm và \(\widehat A\)= 60°. Tính cạnh BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính MN?
∆ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Tìm hệ thức thể hiện quan hệ 3 cạnh của tam giác.
Tính tổng: \({\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn. Tia phân giác của \(\widehat {CAx}\) cắt nửa đường tròn tại E, AE và BC cắt nhau tại K. Chứng minh:
a. ∆ABK cân tại B.
b. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh: KI // Ax.
c. Chứng minh: OE // BC.
d. BI cắt Ax tại F. Chứng minh: tứ giác AIKF là hình thoi.
Cho ∆ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau ở D. Chứng minh:
a. ∆BDC cân.
b. AD là tia phân giác của góc A và DA là tia phân giác của \(\widehat D\).
c. AD ⊥ BC và AD đi qua trung điểm của BC.
Chứng minh rằng với mọi tập hợp A, B, C: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Giá trị của
\(M = {\cos ^2}15 + {\cos ^2}25 + {\cos ^2}35 + {\cos ^2}45 + {\cos ^2}105 + {\cos ^2}115 + {\cos ^2}125\)là ?
Hình thang vuông ABCD có \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ ,\)AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm. Tính các góc của hình thang ?
Cho n ∈ ℕ, chứng minh rằng \({n^2} + n + 1\) không chia hết cho 4 và không chia hết cho 5.
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \(\frac{2}{5}{x^2} + 5{x^3} + {x^2}y\).
Cho phương trình \(\cot x = \sqrt 3 \). Tính các nghiệm của phương trình ?
Giải phương trình sau: \(3\cos x + 2\left| {\sin x} \right| = 2\).
